整数部分、小数部分の問題の解法を教えて下さい。

以下の問題がわかりません。
どなたか頭の良い方、解法を教えて下さい。

〔問題〕
nを正の整数とし、(5*2^(1/2)+7)^(2n+1)の整数部分をA、小数部分をaとするとき、(A+a)aの値を求めなさい。

〔答え〕
(A+a)a = 1

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#75273 回答日時： 2008/07/20 11:30

１級の問題ですね。

A(n) = (5√2 +7)^(2n+1) - (5√2 -7)^(2n+1)とする。
A(n)：整数
(5√2 -7)≒7.05 - 7 = 0.05
∴0 < (5√2 -7)^(2n+1) < 1
A = A(n)　　a = (5√2 -7)^(2n+1)
また、整数部分のAと少数部分aの加法は、(5√2 +7)^(2n+1)であるため
∴(A+a)a = (5√2 +7)^(2n+1) * (5√2 -7)^(2n+1)
= ((5√2 +7) * (5√2 -7))^(2n+1)
= 1^(2n+1) = 1 ■

この回答への補足

頭が悪くて申し訳ないです。
3点わかりません。

> A(n) = (5√2 +7)^(2n+1) - (5√2 -7)^(2n+1)とする。
この発想はどのようにして思いつくのですか？


> A(n)：整数
これはどのような意味でしょうか？A(n)は整数部分？


> ∴0 < (5√2 -7)^(2n+1) < 1
> A = A(n)　　a = (5√2 -7)^(2n+1)
0 < (5√2 -7)^(2n+1) < 1　ならば、A = A(n)　　a = (5√2 -7)^(2n+1)となることがわかりません。

補足日時：2008/07/20 12:21

No.3 回答者： nettiw 回答日時： 2008/07/20 17:36

[(5√2+7)^(2n+1)]

=[(5√2+7)^(2n+1)-(5√2-7)^(2n+1)]+[(5√2-7)^(2n+1)]
と変形し、

二項定理を念頭において、

(5√2+7)^N-(5√2-7)^Nは、

偶数次数では、
(5√2+7)^(2n)-(5√2-7)^(2n)
√2がつかない項は相殺し、√2のついた項のみが残り、
整数にはならないけれど、

奇数次数では、
[(5√2+7)^(2n+1)-(5√2-7)^(2n+1)]
√2のついた項は相殺し、√2がつかない項のみが残り、
[整数]となります。

------
さらに、問題が成立するように、5√2-7　が、
0＜5√2-7＜1 の範囲に収まるよう、数を選らんであります。
実際、
√2=1.414...、5√2=7.07...、5√2-7=0.07...
0＜r＜1 のときは、0＜r^(2n+1)＜1 、
0＜[(5√2-7)^(2n+1)]＜1
つまり、(小数部分)a=[(5√2-7)^(2n+1)]
(整数部分)A=[(5√2+7)^(2n+1))-(5√2-7)^(2n+1)]
......
(A+a)a
=[(5√2+7)^(2n+1)][(5√2-7)^(2n+1)]
=[(5√2+7)(5√2-7)]^(2n+1)
=1^(2n+1)=1
......　　。

No.2 回答者： noname#75273 回答日時： 2008/07/20 17:09

>> この発想はどのようにして思いつくのですか？

残念ながら私もこの問題を最初見たとき分かりませんでした。（解法は、覚えていただけです。）

>> A(n)：整数　これはどのような意味でしょうか？A(n)は整数部分？
A(n) = (5√2 + 7)^(2n+1) - (5√2 - 7)^(2n+1)とおくと、
A(n)は整数になる。という意味です。（結果的には整数部分になるのですが、現時点でのA(n)は整数ということです。）

また、A(n)が整数になることの簡略証明としては、
　(X + Y)^(2n + 1) - (X - Y)^(2n + 1)　　（二項定理より）
= (k=0～2n+1)Σ(2n+1_C_k・X^(2n+1-k)・Y^k・(Y^k - (-Y)^k))
ここで、Kが偶数の場合は0、kが奇数の場合は「X^(2n+1-k)は、Xの偶数乗」より、
X = 5√2、Y = 7を代入すると、5√2の偶数乗すると、整数。
∴　(5√2 + 7)^(2n+1) - (5√2 - 7)^(2n+1)：整数　■

>> 0 < (5√2 -7)^(2n+1) < 1　ならば、A = A(n)　　a = (5√2 -7)^(2n+1)となることがわかりません。
まず、A(n) = (5√2 +7)^(2n+1) - (5√2 -7)^(2n+1)　とおいたので、
(5√2 +7)^(2n+1) = A(n) + (5√2 - 7)^(2n+1)…(1)　となります。
A(n)：整数…(2)
0 < (5√2 - 7)^(2n+1) < 1…(3)
(1)、(2)、(3)より、(5√2 +7)^(2n+1)の整数部分はA(n)、(5√2 +7)^(2n+1)の少数部分は(5√2 - 7)^(2n+1)となります。