こんにちは。高校数学1の組合せ分野に関して、問題集の解説を読んでも理解できません。
問題「6個の同品質のリンゴa,b,cの3つの相異なる鉢に盛り分ける分け方は何通りあるか。ただし、鉢には何個盛ってもよく、また、全然盛らないものがあってもよいとする。」
解答「3個のものから重複を許して6個とる組合せの数をもとめればよい。
3H6=8C6=8C2=28(通り)」
↑解答の解説がさっぱり分かりません。順番に解説していただけるとありがたいです。よろしくお願いします。
(ちなみに、私は、aに0個の場合が7通り、1個の場合が6通り…として、7+6+5+4+3+2+1=28とするやり方なら、わかりました。)
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
すみません。
間違えました。>> 同じものだとすると、逆に、何で区別されているのでしょうか。
(誤) A 6個を(区別して)6!で割り、
(正) A 6個は(区別出来ないので)、6!で割り
(誤) B 2個も(区別して)2!で割って、
(正) B 2個も(区別出来ないので)、2!で割って、
次に、
>>「重複組合せ」=「組合せ」=「同じものを含む順列」
ではなくて、
「重複組合せ」を、丸棒分配法で、「組合せ」に変換して、
「組合せ」=「同じものを(2種類)を含む順列」
「同じもの(3種類)を含む順列」については、
aabbbcccc、2+3+4=9
9!/2!3!4! と拡張されます。
(x+y+z)^9 を展開したときの、
x^2・y^3・z^4 の項の係数に相当するので、
多項定理における多項係数と呼ばれます。
さらに、
n個のうち、p個同じ、q個同じ、r個同じ、・・・、s個同じは
p+q+r+・・・+s=n
n!/p!q!r!・・・s! と拡張されます。
(余談)
HNを見て、京都の方かと思い、
夢窓疎石(むそうそせき)により開山された、
相国寺の付近で桑原武夫氏と遭遇し・・・ 。
回答ありがとうございます。
「組合せ」=「同じものを(2種類)を含む順列」
「同じもの(3種類以上)を含む順列」
の2種類に分けて考えるといいのですね。
ありがとうございます、
No.4
- 回答日時:
>>2はどういうこと・・・
|を●に入れ替えて書きます。
○●○●○○○○とか、
○○○○○○●●ですね。
(1)
8個から、2個取り出す(組合せ)に見えれば、それで終了です。
8人の中から(掃除する人を、2人選ぶ場合の数)と、
8人の中から(掃除しなくていい人を、6人選ぶ場合の数)は、
一致しますね。
8個から●を2個選ぶ事と、8個から○を6個選ぶ事は同じことだから、
公式として 8C2=8C6 が成立します。計算式は、
8C2=8*7/2*1、
8C6=8*7*6*5*4*3/6*5*4*3*2*1
(6*5*4*3)が約分されて、両式が一致しているのが、確認できます。
nとrを使って書くと、nCr=nCn-r、(E)
nCr=n!/r!(n-r)! で、 (F)
nCn-r=n!/(n-r)!(n-(n-r))!=n!/(n-r)!r!
話がズレましたが、(F)も必要です。
(2)
多分、この話ではなくて、
8個から2個取り出す(組合せ)に見えない← と。
8個に番号をつけて、
1,,2,,3,,4,,5,,6,,7,,8
○●○●○○○○ ←2、4を選んだ。
○○○○○○●● ←7、8を選んだ。
と見るのが最善と思います。
(3)
(同じ物を含む順列)と見る。
ABABAAAA
AAAAAABB
Aが6個、Bが2個の順列の数は、
最初に8個全部異なると数えて、その数は8!。
次に、A 6個を区別して6!で割り、
B 2個も区別して2!で割って、答は8!/6!2!と 。
当然ながら、(F)において、n=8、r=2 を入れると
nCr=n!/r!(n-r)!が、
8C2=8!/2!6!に化けて、同じになります。
(4)余談を書こうと思いましたが、朝日が顔を出したので・・・。
誤植があるかもしれないんで、御注意ください。
詳細な回答をありごとうございます。
順列・組合せについては、いろいろ混乱しています。
「重複組合せ」=「同じものを含む順列」と考えてよいということでしょうか?
同じものだとすると、逆に、何で区別されているのでしょうか?(何が違うのでしょうか?)
説明していただけるとありがたいです。
No.3
- 回答日時:
例えば、aに2個、bに1個、cに3個を、aa|b|cccのようにa,b,cの並びに区切りを入れて、それを境にしてりんごがどこに何個入ったかを表すとすれば、すべてをりんご6個と区切り2個の順列で示せます。
よって、8個の場所からりんごの場所を6個とる、または8個の場所から区切りの場所を2個とる組合せで、8C6=8C2と計算できます。
No.2
- 回答日時:
(重複組合せ)は考え方が難解です。
昨今は丸棒方式が主流のようです。
○6個と|2本で構成します。
○|○|○○○○は鉢aに1個、鉢bに1個、鉢cに4個、
○○○○○○||は鉢aに6個、鉢bに0個、鉢cに0個と見て、
丸棒の並べ方は、提題の場合の数に一致します。
(棒の数)=(鉢の数)-1 になります。
重複組合せの記号では3H6ですが、
覚えない方がいいと思います。
図を見ながら直接、(3+6-1)C2=8C2=8・7/2・1=28です。
8C2と書けるのはいいですか。
尚、(重複組合せ)は様々なパターンがあります。
http://www.nikonet.or.jp/spring/repeat/repeat.htm
慣れるしかないようです。
この回答への補足
すいません・・・
>8C2と書けるのはいいですか
8のほうはわかりますが、2はどういうことになるのでしょうか?
下の「この回答へのお礼」では分かりますとかきましたが、よく考えると分かりません。教えていただけるとありがたいです。
回答ありがとうございます。
よくわかりました。
>重複組合せの記号では3H6ですが、
覚えない方がいいと思います。
>図を見ながら直接、(3+6-1)C2=8C2=8・7/2・1=28です。
↑わかりました。
>8C2と書けるのはいいですか。
これはわかります。
No.1
- 回答日時:
鉢が3個しか無いのに「重複を許す」ということがわかり難くなっている原因ではないでしょうか。
問題を、
「6個の同品質のりんごすべてににA,B,Cのいずれかの記号を付ける。記号の付け方は何通りあるか。ただし、すべてのりんごに同じ記号を付けてもよく、付けない記号があってもよい。」
と置き換えてみるとわかりやすいと思います。
式については以下参照。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88% …
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