無理数の各桁の数字の出現のしかたには全く法則がないのでしょうか

Question

無理数は循環小数ではないというのは一つの法則ということになるのでしょうか。逆に循環しなければ無理数ということになるのでしょうか。

ojisan7 · Accepted Answer

無理数の各桁の数字の出現のしかたには全く法則はないかということですが、この場合の無理数というのはある特殊な無理数ではなく、一般の無理数ということでしょうか。無理数といっても代数的数だけでなく超越数もありますからね。数学には超越数論という領域がありますが、結構複雑で、まだ完成された分野ではありません。現在までのところ超越数の分類方法がいくつか知られていますが、ただ分類したというところまでです。在る数が超越数かどうかを判定することでさえ難しいことです。ましてや、一般の超越数を十進近似した場合に各桁の出現のしかたの法則を見つけることは不可能だと思います。仮に法則らしきものが予想されたとしても、その法則を破る例が必ず存在するだろうと思います。そのような反例はたやすく見つけられるような気がします。
ということで、一般の無理数の各桁の数字の出現のしかたには全く法則がないと、ほぼ９９.９９９パーセントの確信を持っています。かりに誰かが「法則らしきもの」を提出したとしても、簡単に反例をあげることができる、ということです。

Tacosan · Answer

無理数の「表現のしかた」が問題になるでしょうね.
整数進法なら循環しない小数になりますが....

arrysthmia · Answer

「全く法則がない」という言葉の意味が不明ですが、
無理数は循環小数ではなく、循環しなければ無理数である
ということが言いたいのなら、その通りです。

有限小数は後ろに０の循環が続いていると解釈すれば、
　有理数＝循環小数
　無理数＝循環しない小数
であって、実数は、この二つのどちらかに属します。

「法則」が、小数各桁の数字を
その手前数桁の数字から算出する漸化式のことを
意味しているのならば、それは、
小数が循環するかどうかを考えているのと同じことです。

kabaokaba · Answer

有理数＝循環小数
循環小数なら有理数になるのは，中学校くらいで習う
循環する部分をずらして引く方法でできるし，
有理数なら分母は必ず整数だし，整数で割り算したら
余りになりうる数は有限個だから，どこかで
同じ余りがでてきて，循環が始まることになります．

したがって，
無理数＝「有理数ではない」＝「循環小数ではない」
となって，No.1さんのあげられた「Liouville数」なんて
ものがでてきます（規則はあるが循環しない無理数．実際は超越数）．

この手のものは，例えば
0.101001000100001000001......=Σ10^{-n(n+1)/2}
なんてのも無理数でしょう．

SariGEnNu · Answer

循環小数でない ⇒ 無理数 の対偶は有理数 ⇒ 循環小数です。
無理数 ⇒ 循環小数でない の対偶は循環小数 ⇒ 有理数です。
ですがその対偶の証明ができません。

次の小数は各桁が有限時間で分かりますが循環小数でないため無理数になる一例です。
小数第n位＝2^n÷9の余り

koko_u_ · Answer

>逆に循環しなければ無理数ということになるのでしょうか。
そうです。
しかし、リウヴィル数などは循環はしないが、規則的ではあります。

無理数の各桁の数字の出現のしかたには全く法則がないのでしょうか

無理数の各桁の数字の出現のしかたには全く法則はないかということですが、この場合の無理数というのはある特殊な無理数ではなく、一般の無理数ということでしょうか。

無理数の「表現のしかた」が問題になるでしょうね.

「全く法則がない」という言葉の意味が不明ですが、

有理数＝循環小数

循環小数でない ⇒ 無理数 の対偶は有理数 ⇒ 循環小数です。

>逆に循環しなければ無理数ということになるのでしょうか。

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