長さ1の線分を3分割してできる三角形の面積の期待値は？

長さ１の線分上から二点を無作為に選び、そこで切断してできる３本の線分で三角形を作ることを考えたとき、それが実際に可能な確率は 1/4。
そのとき、三角形の面積は、いくつになることが期待できるのでしょうか？

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/ptri3.htm
を元に考えている問題ですが、ヘロンの公式からの計算が進みませんので、教えていただきたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： tecchan22 回答日時： 2008/08/27 04:18

＃１やが、説明が不親切やったね。

三本の線分の長さを順にｘ，ｙ，ｚとしています。

なのでｘ＋ｙ＋ｚ＝１，ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＞０　　・・・(1)
更に三角形が出来るのは、ｘ＜１／２，ｙ＜１／２，ｚ＜１／２　　・・・(2)
のとき。

出来る三角形の面積は、(1/4)√｛(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)}
ｚ＝１－ｘ－ｙによりｚを消去して、

(1/4)√｛(1-2x)(1-2y)(2x+2y-1)}
=(1/√2)√｛(x-1/2)(y-1/2)(x+y-1/2)} （これをf(x,y) と置く）

さて、ｘ，ｙの動きうる範囲は、(1)，(2)でｚを消去して整理すると、
ｘ＋ｙ＞1/2 , ｘ＜1/2 , ｙ＜1/2 　・・・★
を満たす部分。（図で考えよ）

後は★上でｆを積分して、★の面積で割るとｆの平均値が出るのは良いかな？

積分は、ｘ，ｙ順々に積分するといいでしょう。

分からないところがあれば聞いて下さい。

No.1 回答者： tecchan22 回答日時： 2008/08/20 11:04

確率についてのうるさいことは気にしないことにします。

まず、ｘ、ｙの取りうる値の範囲をｘｙ平面上に図示し、
その上で面積を積分します。
そうして積分値を、ｘｙの動く範囲の面積で割ればいいでしょう。

π／１０５≒０．０３
になるようです。

最大が正三角形のときで√３／３６≒０．０４８
なので、まあ良さそうですね。