どうしても解けない文章問題があります。

はじめまして。
考えたのですが解答に辿り着けませんでしたので、質問させていただきます。
下記問題です。よろしくお願い致します。

問題：みかんが133個レモンが120個オレンジが81個、これを何人かの子供に均等に分けます。それぞれの果物について全員が同じ個数ずつもらったところ、みかん・レモン・オレンジとも余った個数が同じであった。そのとき１人が貰ったみかん・レモン・オレンジの個数の和はいくらか？
解答：25個

まず式を立ててみたのですが、子供の人数n人、みかんをa、レモンをb、オレンジをc、とおきました。
133-na=120-nb=81-nc
で計算していったのですが、結局解答に辿り着けませんでした...。

なにか良い解法がありましたら教えて下さい。
よろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： Lokapala 回答日時： 2008/08/23 22:25

みかんとレモンの差は１３個、レモンとオレンジの差は３９個です。

ここで、余ったみかんの数をaとします。すると、
配られたみかんの数：133-a
配られたレモンの数：120-a=(133-a)-13
配られたオレンジの数：81-a=(133-a)-52

子供の人数をnとすると、一人あたりのみかんの数は(133-a)/n個です。ここで、(133-a)/nは整数になります。また、一人あたりのレモンの数、オレンジの数も整数になります。つまり、
{(133-a)-13}/n=(133-a)/n-13/n　が整数です。
(133-a)/nは整数なので、13/nも整数になります。つまり、n=13です。
人数がわかったところで、配られたみかんの数に注目します。仮に今、みかんができるだけ多く配られたとすると、余ったみかんの数は３個で、一人あたりの数は10個になります。このときの一人あたりのレモンの数は９個、オレンジの数は６個です。つまり、一人あたりの果物の総数は２５個になります。しかし、この問題には穴があります。余ったみかんの数が3+13k（kは、0以上6以下の整数）ならば、ｋは何でも成り立ちます。例えばｋ=2のときは、一人あたりの果物の総数は22個です。

ここからは、自分の考えですが、この問題は「そのとき１人が貰ったみかん・レモン・オレンジの個数の和はいくらか？」ではなく「そのとき一人がもらえるみかん・レモン・オレンジ・の個数の和の最大は何個か？」でないでしょうか。でないと、答えは7個出てしまいます。

No.4 回答者： noname#66248 回答日時： 2008/08/24 11:41

それぞれ余った果物の数を N とした式を立てると良いのです。

133-na=N　（1）
120-nb=N　（2）
81-nc=N　（3）
すると解く道筋が見えてきます。
（1）-（2）：　13=n(a-b)
（2）-（3）：　39=n(b-c)
（1）-（3）：　52=n(a-c)
39=3×13
52=4×13
もうお分かりでしょう。

No.3 回答者： noname#84841 回答日時： 2008/08/24 06:30

整数問題といえば

[>範囲を決める
[>割り算
[>桁を利用する
[>小数が出ないことを利用
[>因数分解　素因数分解
等の主砲がありますが、

今回の問題でも使います。

先ず分ける人数ｎの範囲を決めます。
みかんが133個レモンが120個オレンジが81個ですから、
61人以上で分けるわけには行きません。
61人以上(ｎ≧61の時)で分けると、
レモンのあまりは120-ｎ　
オレンジのあまりは81-ｎとなり一致しないからです。
従って１＜ｎ≦６０となります。

次にｎが41人以上60人以下のとき
みかんが133個レモンが120個オレンジが81個ですから、
41人以上60人以下(60≧ｎ≧41の時)で分けると、
レモンのあまりは120-2n
オレンジのあまりは81-n 　
120-2n=81-ｎよりn=39ですから60≧ｎ≧41に反し
ますので
従って上と併せて１＜ｎ＜41　　となります。

次にｎが31人以上40人以下のとき
みかんが133個レモンが120個オレンジが81個ですから、
31人以上40人以下(40≧ｎ≧31の時)で分けると、
レモンのあまりは120-3n
オレンジのあまりは81-2n
120-3n=81-2n
n=39となりますが、みかんのあまりが違う為不適です。
従って上と併せて１＜n＜31　　となります。

　
次に素因数分解をして
133=7×19
120=2×2×2×3×5
81=3×3×3×3
となりますので
余りが０になることはありません。
ですので,上の掛け算を見てあまりが0になる　
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,19,20,24,27,30，60
は除かれます。かなり絞れて来ました。
ｎ=11,13 ,14, 16, 17, 18, 21, 22, 23, 25, 26, 28, 29
のどれかです。133,120,81の内2個調べて一致しなければアウトです。小さい方から調べるとすぐに出ますがｎ＝13です。
133=13×10+3
120=13×9+3
81=13×6+3
10+9+6=２５と出ます。
但し、これは1様の通り、一人が最大限各果物を貰う場合です。

No.2 回答者： Tiffa9900 回答日時： 2008/08/23 22:47

133-120=13 → レモンよりみかんが13個多く配られた

120-81=39 → オレンジよりレモンが39個多く配られた
133-81=52 → オレンジよりみかんが52個多く配られた

13個、39個、52個多く配る為には、
それぞれ人数でこれらの個数が割り切れる必要がある。
つまり共通の公約数を見つければいいので、人数は1人か13人になる。
とりあえず「何人かの子供」と言う事なので1人は除外する。
っていうか、除外しないと81通りの解がありそう。

人数が13人。配られた果物の和をn個、余った数をm個とすると、
13n=(133+120+81)-3m
13n+3m=334

う～ん…解が25って事ですので、n,mは自然数ですから、nが最大になる時ですよね。
つまり、問題が「個数の和はいくらか？」ではなく「個数の和が一番多くなるように分けた時、その個数の和はいくつか？」なんじゃないかな？

解けてなくて申し訳ありませんが、私が考えられるのはここまでかな。(；^^)ヘ..