この問題を解いてください。お願いしますｍ（－－）ｍ - その他(学問・教育) - 教えて！goo

組み合わせで考えてみると

まず、ｎ個のおもりのうち何個皿に乗せるかを決めます。
その後乗せるおもりのうちいくつを左（または右）に乗せるかを決めます。

1g,3g,9g で具体的に見てみると
・１個　　3Ｃ1( 1Ｃ0 ) = 3Ｃ1( 1Ｃ0 + 1Ｃ1 )/2 = 3通り
・２個　　3Ｃ2{ 2Ｃ0 + (2Ｃ1)/2 } = 3Ｃ2( 2Ｃ0 + 2Ｃ1 + 2Ｃ2 )/2 = 6通り
・３個　　3Ｃ3( 3Ｃ0 + 3Ｃ1 ) = 3Ｃ3( 3Ｃ0 + 3Ｃ1 + 3Ｃ2 + 3Ｃ3 )/2 = 4通り
となります。

３個のうち１個のおもりを使う場合は
おもりの選び方が 3Ｃ1 = 3通り、乗せるひとつを決めた後
左の皿に乗せる個数を０個とした 1Ｃ0 = 1通りなので 3*1=3通り
左の皿に乗せる個数を１個とすると右の皿が０個となるので
これは重複しています。

次に３個のうち２個のおもりを使う場合も同様に考えますが、
(2Ｃ1)/2 としているのは２個のうち左に乗せるおもりを１個選ぶと
左右の皿に乗る個数が同じなので重複を除くために２で割っています。
（左1g,右3g と 左3g,右1g はおなじ重さを量ることになりますね。）
したがって、偶数個のおもりを使う場合において
半分ずつ左右の皿に乗せるときだけ２で割ることになります。


このように考えると、1g,3g,3^2g,…,3^(n-1)g のn個のおもりのとき
ｎ個のうちｋ個を選んだ場合の組み合わせの個数は
　nＣk (ΣkＣi)/2　通り
となります。
ここで、Σは i=0 から i=k までの和です。
したがって
　nＣk (ΣkＣi)/2 = (1/2)(nＣk)*2^k　通り
となります。

あとは、ｋについて１からｎ個までの和をとれば
（k=0 は皿にひとつもおもりを乗せないことになるので）
　(1/2)Σ(nＣk)*2^k = (3^n - 1)/2 通り
となり、(3^n - 1)/2 通りのおもさを量れることになります。
また、1g,3g,…,3^(n-1)g のn個のおもりを全部あわせると
　1 + 3 + … + 3^(n-1) = (3^n - 1)/2 g
となるので、これは１つももらさず 1g から (3^n - 1)/2 g まで
量れることを意味します。

コンビネーションの和をとるときに２項定理を用いました。

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(4)
40=3^3+3^2+3+1である。
1g,3g,9g,27gが答え。
１～４０の間の数を３進法で書いたときに
それぞれの桁が０か１か２によって、
1g,3g,9g,27gの重りを置く場所を変える。
０・・・おかない
１・・・左に置く
２・・・右に置き、左に１回り大きい重りを置く。
こうすれば、右側に調べたい重りを置くことで量ることができる。
(5)たとえば、
1,3,3^2,・・・,3^(n-1)gのn個のおもりがあれば、
1+3+・・・+3^(n-1)=(3^n-1)/2gまでの整数値の重さをすべて量ることができる。

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(1)1g,3g,9g
1=1,2=3-1,3=3,4=1+3,5=9-3-1,6=9-3,7=1+9-3,8=9-1,
9=9,10=1+9,11=9+3-1,12=3+9,13=1+3+9
(2)おもりが２個では４通りの重さしか量れない。
おもりが３個になると・・・
３個とも使う場合　４通り量れる
２個使う場合　３×２＝６通り量れる
１個使う場合　３通り計れる
４＋６＋３はちょうど１３なので、(1)の個数は最小である。
(3)おもりの重さの合計は13ｇでなければならない。
また同じ重さの重りはあってはならない。そのことからすべての
場合をしらみつぶしにしらべればよい。
(4)おもりが４個になれば、
４個とも使う場合　８通り
３個使う場合　４×４＝１６通り
２個使う場合　６×２＝１２通り
１個使う場合　４通り量れる
よって８＋１６＋１２＋４＝４０なので、
おもりが４個の場合で解があれば、それが最小になる。
（つづく）

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