関数の導関数を求める方法（合成関数の微分を用いる方法）

次の関数の導関数を求める問題なのですが、
以下の解き方であってるでしょうか？

(1) f(x) = (2x+1)^3

f(x)=u^3, u=2x+1とおき、合成関数の微分を用いる。

公式 (dy/dx)=(dy/du)・(du/dx)より、
f'(x)=(dy/du)=3u^2
(du/dx)=2
∴(dy/dx) = (dy/du)・(du/dx)
= 3u^2・2 = 6u^2 = 5(2x+1)^2

(2) g(x)=1/(x^2+x+1)

f(x)=u^(-1), u=x^2+x+1とおき、合成関数の微分を用いる。

公式 (dy/dx)=(dy/du)・(du/dx)より、
g'(x)=(dy/du)=u^(-1)
(du/dx)=2x+1
∴(dy/dx) = (dy/du)・(du/dx)
= u^(-1)・(2x+1) = (x^2+x+1)^(-1)・(2x+1)
= (2x+1)/(x^2+x+1)

No.2 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2008/10/25 23:57

こんばんは。

色々な微分の中でも、合成関数の微分は非常に楽な部類なので、
わざわざｕというシンボルを使わずとも、いきなり解けるようになりましょう。

（１）
ｆ’＝　２　×　３（２ｘ＋１）^2
　＝　６（２ｘ＋１）^2


（２）
ｇ’＝　（２ｘ＋１）／（－（ｘ^2＋ｘ＋１）^2）
　＝　－（２ｘ＋１）／（ｘ^2＋ｘ＋１）^2


商の微分の考え方でもできますね。
（Ａ／Ｂ）’　＝　（Ａ’Ｂ　－　ＡＢ’）／Ｂ^2

Ａ　＝　１
Ｂ　＝　ｘ^2＋ｘ＋１
Ａ’＝　０
Ｂ’＝　２ｘ＋１
なので、
ｇ’＝　（０　－　１・（２ｘ＋１）／（ｘ^2＋ｘ＋１）^2
　＝　－（２ｘ＋１）／（ｘ^2＋ｘ＋１）^2
合いました。


以上、ご参考になりましたら。

この回答へのお礼

いつも的確なご指導ありがとうございます。
商の微分の解き方も、あちがとうございます。
参考にさせていただきます。

お礼日時：2008/10/26 10:37

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/10/25 23:30

>以下の解き方であってるでしょうか？

解き方はあってる。でも答えは違う。

この回答へのお礼

早速のご指摘、ありがとうございます。
答えを転記ミスしていました。失礼いたしました。
(1)の答えは、「6(2x+1)^2」でよろしいでしょうか？

(1) f(x) = (2x+1)^3
:
= 3u^2・2 = 6u^2 = 6(2x+1)^2

お礼日時：2008/10/25 23:33