書き方がよくわからないので、変なところがあったらすいません。
ある命題の証明をしていた時に出てきた途中式が、
なぜそうなるのかわかりません。(バナッハ空間での問題です)
よろしくお願いします。
∥Σ(1-x)^k∥≦Σ∥(1-x)^k∥ (k=1~∞)
これが、k=1~nまでなら、
∥Σ(1-x)^k∥=∥(1-x)+(1-x)^2+・・・+(1-x)^n∥
≦∥(1-x)∥+∥(1-x)^2∥+・・・+∥(1-x)^n∥
=Σ∥(1-x)^k∥
となることはわかるのですが、無限大の場合にも
なぜ成り立つのか教えていただきたく思います。
宜しくお願い致します。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
無限大の場合というのは左辺の級数が収束する場合ということですか?
そうであれば任意のkに対して不等式が成り立つ事実と(これはすでに分かってるようなのでスルーしますが)級数が収束するという事実(ノルム収束するので左辺は実数の意味で収束します)使えば後は極限をとるだけです。
そうだったのですか!!
よく考えれば級数が収束するということを使えばよかったんですね。
気がつきませんでした。
ありがとうございます。
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