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対角化の応用:標準形についてです。
aX^2 +bXY+cY^2 =αX’^2+ βY’^2

対角化行列は
α0
0β
であるが、固有値がどっちがαか、どっちが βか、どう決めるか?

例:6X^2 -4XY+9Y^2の標準形を求めよう。
固有値は5と10なので、
固有ベクトルは
5  0
0 10
にしたんだ。

かえって、教科書の答えは
10 0
 0 5
なぜなのですか?
5X’^2+ 10Y’^2じゃなくて、
10X’^2+ 5Y’^2が答えです。

A 回答 (2件)

数学はまったく素人ですが苦手とした者として、理解に苦労する人に同情し、一応コメントします。


>固有値は5と10なので、固有ベクトルは
>5  0
>0 10
>にしたんだ。
は誤りで、質問者さんが書かれたものは対角化した行列です。固有ベクトルは(1/√5, -2/√5), (2/√5,1/√5)になります。(±の自由度はありますが)これを並べた行列、および並べ方を転置した行列(直交行列はこれは逆行列になります。)でもとの対称行列を挟んで対角化しますが、並べ順は自由です。
1/√5 2/√5
-2/√5 1/√5
とその転置行列で対角化すれば左上が10になり右下が5になります。
順序を変えて
2/√5 1/√5
1/√5 -2/√5
とその転置行列で挟めば左上が5、右下が10になります。

楕円の方程式を長軸と短軸がx軸、y軸になるようにせよ、と言われたとき、長軸をx軸にしても、短軸をx軸にしてもよいようなものです。
あまり本質を捉えていない説明かも知れませんがご参考まで。
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公式にあてはめて計算してるだけ?



理屈が分かってればどっちでもいいのは自明だから
大学の教科書はそういうところまではケアしない.
というか,答えがあるだけ珍しい,
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