「mod」って何者？？

数学の整数問題で使うことができるらしい[mod]とかいうテクニック的なものってなんなんですか？
そしてどうやって使うのですか？


例えば↓のような問題もmodやらを使って解けるのですか？？

問題１
nを自然数とするとき、
(1)nが3の倍数でない奇数の時、n'2（nの２乗）を12で割った余りを求めよ。
(2)n'3(nの３乗)を6で割った余りは、nを6で割った余りに等しいことを示せ。
（東北学院大学）


問題２
(1)正の整数nでn'3＋1(nの３乗＋１)が3で割り切れるものをすべて求めよ。
(2)正の整数nでn'n＋1(nのn乗＋１)が3で割り切れるものをすべて求めよ。
（一橋大）



詳しく教えてください。お願いします。

No.5 回答者： Ishiwara 回答日時： 2008/11/08 11:43

「数学上の表記法」と「コンピューターのプログラミングにおける関数の表記法」は違います。

後者でいえば
「Ａ mod Ｂ」 は「ＡをＢで割ったときの余り」です。
具体的な問題については、「丸投げ」に該当する恐れがあるので、答えられません。ご自分の努力の跡があればＯＫですが。

No.4 回答者： info22 回答日時： 2008/11/01 15:42

#2,#3です。

A#3の追加補足です。
問題１(2)
n mod 6 =p (0≦p≦5)(◆)とおくと n=6k+p

(n^3)=(6k+p)^3=6k(36k^2+18kp+3p^2)+p^3
(n^3) mod 6=(p^3) mod 6…(■)

p=0の場合 p^3=0=p
p=1の場合 p^3=1=p
p=2の場合 （p^3) mod 6=8 mod 6=2=p
p=3の場合 （p^3) mod 6=27 mod 6=3=p
p=4の場合 （p^3) mod 6=64 mod 6=4=p
p=5の場合 （p^3) mod 6=125 mod 6=5=p
(p^3) mod 6=p
この式と(◆)、(■)から
(n^3) mod 6 = n mod 6

後は以上のやり方を参考にして自助努力でやってみてください。
分からない所は、やった解答の過程を補足に書いて、分からない箇所を追加質問をして下さい。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/11/01 15:04

#2です。

補足します。
問題１(1)
n=1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,…なので
(n^2) mod 12 =1
となりますね。
これをA#1で書いたnの式を使って導いて下さい。
n=1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,…
で
nの奇数番目:6p+1(p=0,1,2,3,...)
n^2=12p(3p+1)+1
nの偶数番目:6p-1(p=1,2,3,...)
n^2=12p(3p-1)+1
となり
(n^2) mod 12 =1
となりますね。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/11/01 14:23

mod については次のサイトに詳しく説明がありますのでご覧下さい。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%88%E5%90%8C% …
>[mod]とかいうテクニック的なものってなんなんですか？
テクニック的なものではありません、
剰余が同じ数を表すための単なる演算子に過ぎません。
>そしてどうやって使うのですか？
17を3で割った余りは
17 mod 3 = 2
のように表されます。
文字だと
n mod 2 =1
を満たす自然数nは奇数となります。

n mod 3 =0
を満たす自然数nは３の倍数となります。

なので
>例えば↓のような問題もmodやらを使って解けるのですか？？
式で表現できるだけで解けるわけではありません。

問題１をmodを使って表せば
(1)n mod 2=1, n mod 3 ≠0の時,
「(n^2) mod 12」を満たす自然数nを求めよ。
(2)(n^3) mod 6 = n mod 6
　を示せ。
となるだけで「modを使えば解ける」ことではありません。

例えば(1)は
n=2m-1≠3(k-1) (m,kは自然数)の時
と書けます。nは
n=3(k-1)+1 または n=3(k-1)+2
と書けます。
この条件で
「(n^2) mod 12」を求めることになります。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/11/01 13:27

>数学の整数問題で使うことができるらしい[mod]とかいうテクニック的なものってなんなんですか？

単なる記号の一種。テクニック的なモノではない。


>例えば↓のような問題もmodやらを使って解けるのですか？？

使ってもいいし、使わなくてもいい。