初代Ipod　miniのバッテリーにつきまして - iPod・携帯音楽プレーヤー - 教えて！goo

初代Ipod　miniを使ってます。大分前から電池がなかったのですが、携帯せずに車のトランスミッターにつないでいるだけでしたので電池交換等はしませんでした。先日、電源が入らなくなり、アダプタにつないでも画面が消えたまま電源が入りません。
これは極限までバッテリーが消耗した結果なのでしょうか。故障でしょうか。

また、バッテリーが原因なだけでしたら、安いバッテリー交換の仕方を教えてください。(安い店、自己処理含めて)

経験者の方、よろしくお願いします。