場合の数の求め方の問題について

質問

場合の数の求め方の問題について

役に立った：2件

質問者：poplabough
投稿日時：2008/11/08 20:40
困り度：

講義型の参考書で、

　Ｑ）数直線上の整数点　x＝1,2,3,・・,n　に、合計n個の黒または白の石を１つずつ、黒石どうしは隣り合わないように置く。黒石を３個使う置き方は何通りあるのか。ただしｎ≧5とする。

という問題がありました。難易度は教科書の例題程度とのことです。

　１時間ほど考えてみましたが、
（１）一番左が白、右が黒
（２）一番左が黒、右が黒
（１）一番左が白、右が白
（２）一番左が黒、右が白

と場合分けをしていけばいいかと思いましたが、うまく解けません。

　解答ではいきなり、

Ａ）白石（n-3）個を並べて、その両端or間の(n-2)か所の隙間、３か所に黒石を入れればよい。

　とあるだけで、なぜ「白石（n-3）個を並べ」るのか分かりませんでした。解答の出発点で「白石（n-3）個を並べ」とするのはなぜか教えていただいけますでしょうか。よろしくお願いします。

この質問への回答は締め切られました。

回答(4件)

No.4ベストアンサー20pt

回答者：proto
回答日時：2008/11/08 21:03

白石については「隣り合わない」などの条件が無いので、とりあえず白石から並べてしまって、その後に黒石を白石の間に割り込ませます。
例えば二つの白石の間に二つの黒石を割り込ませると、黒石は隣り合ってしまいますが、白石の間に割り込ませる黒石を1個だけに限定すれば黒石は絶対に隣り合いませんね。
模範解答ではそのことを言っているのです。

試しに黒石2個、白石4個の場合について並べてみましょう
まず白石4個を並べる
　　∧○∧○∧○∧○∧
黒石が割り込めるのは"∧"の部分。
もし、一番左の白石と二番目の白石の間に黒石2個を割り込ませると、
　　○　●　●　○　○　○
となって黒石が隣り合ってしまう。
でも、一つの"∧"に割り込める黒石はひとつだけというルールを作れば
　　○　●　○　●　○　○
とか
　　○　●　○　○　●　○
とか
　　○　○　●　○　○　●
のように黒石が隣り合うことはない。
結局、黒石2個と白石4個を並べる場合には、最初に白石を並べた後の5カ所の"∧"のうち2つを選んで、一つの"∧"に一つずつ黒石を割り込ませる事を考えればよい。

模範解答ではこれを一般化して黒石3個、白石n-3個の場合について同じ手順で考えています。

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この回答へのお礼

回答、本当にありがとうございます。

「模範解答ではこれを一般化して黒石3個、白石n-3個の場合について同じ手順で考えています。」
ハッと気づかされました。
今、使っている講義型参考書は、（たぶん）一番解説が丁寧で、分かりにくいところは必ず解説を入れてくれているのですが、ここだけはさらっと流されてしまっていました。
でも、今回の回答をいただいて、すっと分かることができました。ありがとうございました。

No.3

回答者：kktm
回答日時：2008/11/08 20:58

「隣り合わない」
⇒「隣り合って困るもの以外をまず先に並べて、
　　その隙間からいくつか選んで隣り合って困るものを押し込む」という定石です

例えば5個の●と2個の○を並べるとき
まず●を並べて

a●b●c●d●e●f

a～fの隙間から2個選んで○を入れれば、絶対に○が隣り合うことはありません

よって
●の並べ方・・・1通り
○を入れる隙間a～fの選び方
a～f6個の隙間から2個選ぶので 6C2 = 15通り
並べ方の総数は　15*1 = 15　通りです

数直線上の整数点に置くならば
まずその順番を決めて（並べ方を決めて）
端からその順番のまま一個ずつ置いていけばいいだけです。

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この回答へのお礼

回答をありがとうございます。

「隣り合って困るもの以外をまず先に並べて、その隙間からいくつか選んで隣り合って困るものを押し込む」という定石です

場合の数の考え方で、このように「まず極端な設定をしてしまう」というのが
よくありますね。どんどん問題を解いていけば身に付くのでしょうが、
まずはこの問題からいろいろ解き進めていきます。ありがとうございました。

No.2

回答者：death_note
回答日時：2008/11/08 20:58

＞Ａ）白石（n-3）個を並べて、その両端or間の(n-2)か所の隙間、３か所に黒石を入れればよい。
に沿ってみると

最初に白石（n-3）個を並べるのは、最終目標の「黒石を３個」の場合における白石だけを最初においてしまうんです。
最初に配置してしまえば、黒を間に挿入していくだけなので黒は隣り合わないようになります。
求める組み合わせは白石は最初に置かれているので黒の場合だけを考え、
(n-2)C(3)が解になります。

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この回答へのお礼

回答を読ませていただきました。ありがとうございます。

「最初に白石（n-3）個を並べるのは、最終目標の「黒石を３個」の場合における白石だけを最初においてしまうんです。」

これはいろんなところで応用が利きそうですね。
確かに基礎問題ですが、これが分からないとかなり躓いてしまうところでした。
ありがとうございました。

No.1ベストアンサー10pt

回答者：noname#77845
回答日時：2008/11/08 20:56

ｎ個の内黒石が３個なので、白石は、（ｎ－３）なのは判りますよね？
（ｎ－３）個の石を並べたときその隙間は（ｎ－４）になるのは判りますか？
それと両端の２カ所を加えて、黒石がおける場所は（ｎ－４）＋２＝（ｎ－２）になります。
この（ｎ－２）の隙間に黒石を置いていく場合の数を数えましょう。
（黒石どおしは隣り合わないので、一つの隙間に２個の黒石は入りません。）

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