級数の発散・収束の問題

∞
Σ　((n-1)/n)^(n^2) n分の(n-1)の（n^2）乗
n=1

の収束、発散をコーシーの判定法を用いて調べよという問題です
コーシーの判定法にあてはめて、((n√)はn乗根）
r=(n√)（(n-1/n)^(n^2) )＝((n-1)/n)^n
=(1-1/n)^n
n→∞により
r＝１
r=1の時判定不能であるから、答：判定不能
という解答を書いたのですが、収束する　が正解だそうです。
どこがおかしいかわからないので、詳しい方よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/12/07 21:16

『n → ∞の時、(1 - 1/n)^n　→ 1』は本当に正しいでしょうか？

n → ∞の時、(1 + 1/n)^n → eですよね。
極限をとった時に『(1に限りなく近いもの)^∞』になるからといって、
1に収束するとは限りません。

n → ∞の時、(1 - 1/n)^n　→ 1/eになると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
eの定義をすっかり忘れてました・・・。

お礼日時：2008/12/07 21:34

No.2 回答者： gef00675 回答日時： 2008/12/07 21:18

途中まであってますが、最後の

(1-1/n)^nの極限の計算が間違ってます。
1ではなくて、1/eです。
1/eは1より小さいのでこの級数は収束します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時：2008/12/07 21:35