∫Ｋπ～Ｋ＋１π｜sinｔ｜ｄｔ=|∫Ｋπ～Ｋ＋１πsintdt| - 物理学 - 教えて！goo

たぶんこの問題には、Ｋは整数とする、または自然数とする、と書いてあると思います。さらに、Ｋ＋１にはカッコが付いているはずです。

このとき、Ｋが自然数の時積分範囲は単位円の上半分または下半分となります。Ｋが偶数のときは上半分で、奇数の時は下半分になります。実際に積分してみましょう。
Ｋが偶数のとき、sintをこの範囲で積分すると、答えは２になります。｜sint｜を積分しても、２になります。
Ｋが奇数のとき、sintをこの範囲で積分すると、答えは―２になります。その絶対値は２となります。｜sint｜をせきぶんすると、２になります。
ちゃんと一致していますね。と言ってもわかりにくいと思うので、成り立たない場合を考えます。

sintをπ/2～3π/2の範囲で積分します。そうすると答えはゼロになります。｜sint｜を同じ範囲で積分すると、答えは２になります。

グラフを書いてみましょう。関数を積分するということは積分範囲とｘ軸と関数によって囲まれた面積を求めることと一致します。ただしこれは、積分範囲において関数が正の場合の話で、関数が負の値を取っている範囲ではマイナスが付きます。つまり、グラフをかいて、ｘ軸よりも上にある、ｘ軸と関数によって囲まれた図形の面積をすべて足して、ｘ軸よりも下にある、ｘ軸と関数によって囲まれた図形の面積を引くと、積分した値になるのです。グラフを書いてみると、積分範囲において、sinxの値が常に正、または負の場合、∫｜sinx｜dx＝｜∫sinx dx｜が成り立つことがわかります。

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Kが偶数の場合、
Kπから(K+1)πの範囲でsint>0です。
一方、奇数の場合、
Kπから(K+1)πの範囲でsint<0です。

x>0のとき|x|=x、x<0のとき|x|=-xであることを使って、
Kが偶数の場合と奇数の場合に分けて
左辺、右辺それぞれを計算して比較すれば容易に分かります。

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