一次元ハミルトン系の位相空間

一次元ハミルトン系：H=m*ω^2*x^2/2+y^2/(2*m)
の位相空間は楕円を描きますが、時間変化の向きは右回り左回りのどちら向きで、なぜそうなるのか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2003/01/27 21:50

(1)　　H=m*ω^2*x^2/2+y^2/(2*m)

からすると，１次元調和振動子の話で x が座標，y が運動量ですね．
H = 一定 (等エネルギー)が xy 平面上で楕円になります．
楕円周上の各点がその瞬間の状態を示していますが，
時間が経過するにしたがって，その点は楕円周上をどちら回りに動くか，
そういう内容ですね．

時計回りに回ります．
それは ハミルトンの運動方程式を考えて見ればよいのです．
(2)　　dx/dt = ∂H/∂y = y/m
(3)　　dy/dt = -∂H/∂x = - m ω^2 x
がハミルトンの運動方程式です．
(2)や(3)の左辺は x や y の上に点(・)をつけて書く方がよく見る書き方ですが，
ここではそういう風に書けないので普通に時間微分の形で書いています．
さて，第１象限(x,y>0)ですと，
dx/dt>0，dy/dt<0，ですから
状態を表す点は時計回りに動くことがわかります．
他の象限でも同じ回り方であることもご確認下さい．

この回答へのお礼

大変分かりやすく、理解することが出来ました。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2003/01/28 11:44