テイラーの定理(マクローリンの定理)の問題について

テイラーの定理でa=0のとき(マクローリンの定理)の問題について
問題を解いてみたのですが、いまいち自信がありません。
わかるかた、ご指導のほど、よろしくお願いします。

特に、問題文でn=3と微分する回数が指定されていて、かつ
xの次数が3より大きいケースの解き方について、
解き方があっているかご指南いただければと思っております。

【問題】
次の関数に「マクローリンの定理」を適用せよ。
ただし、n=3とする。

(1) x^4
f(x)=x^4
f(0)=0
f'(x)=4*x^3=4x^3
f'(0)=0
f''(x)=3*4x^2=12x^2
f''(0)=0
f'''(x)=2*12x=24x
f'''(0)=0
上記の値をマクローリンの定理に適用して、
f(x)=f(0)+(1/1!)f'(0)x+(1/2!)f''(0)x^2+(1/2!)f'''(0)x^3+…+Rn(x)
f(x)は4次だが、問題文よりn=3の指定があるので、
n=3で計算を打ち切り、f'''(0)までで計算する。
f(x)=0+0x+(1/2)*0x^2+(1/6)*0x^3
=0

(2) x^5
f(x)=x^5
f(0)=0
f'(x)=5*x^4=5x^4
f'(0)=0
f''(x)=4*5x^3=20x^3
f''(0)=0
f'''(x)=3*20x^2=60x^2
f'''(0)=0
上記の値をマクローリンの定理に適用して、
f(x)=f(0)+(1/1!)f'(0)x+(1/2!)f''(0)x^2+(1/2!)f'''(0)x^3+…+Rn(x)
f(x)は5次だが、問題文よりn=3の指定があるので、
n=3で計算を打ち切り、f'''(0)までで計算する。
f(x)=0+0x+(1/2)*0x^2+(1/6)*0x^3
=0

(3) √(x+1)
f(x)=√(x+1)=(x+1)^(1/2)
f(0)=1
f'(x)=(1/2)*(x+1)^(-1/2)=1/{2√(x+1)}
f'(0)=(1/2)
f''(x)=(-1/2)*(1/2)*(x+1)^(-3/2)=-1/{4√(x+1)^3}
f''(0)=-(1/4)
f'''(x)=(-3/2)*(-1/4)*(x+1)^(-5/2)=3/{8√(x+1)^5}
f'''(0)=(3/8)
上記の値をマクローリンの定理に適用して、
f(x)=f(0)+(1/1!)f'(0)x+(1/2!)f''(0)x^2+(1/2!)f'''(0)x^3+…+Rn(x)
問題文よりn=3の指定があるので、
n=3で計算を打ち切り、f'''(0)までで計算する。
f(x)=1+(1/2)x+(1/2)*(-1/4)x^2+(1/6)*(3/8)x^3
=1+(1/2)x-(1/8)x^2+(1/16)x^3

この解き方であっているか、ご指導のほど、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/01/02 12:59

> この解き方であっているか、

合っています。

n=3では
(1),(2)は
f(x)=0+ ...
f(x)=0+Rn(x)
余剰項Rn(x)つまり「...」の部分がx^4, x^5
となるということです。

(3)は
f(x)=1+(1/2)x-(1/8)x^2+(1/16)x^3 + ...
「...」の余剰項が出ます。
いずれも展開の範囲はx^3の項までと考えていいでしょう。

この回答へのお礼

新年あけまして、おめでとうございます。
今年も、ご指導のほど、よろしくお願いします。
また、いつも丁寧で適切なアドバイスをしていただき、
ありがとうございます。

解答いただき、ありがとうございました。
ようやく年末からの胸のつかえがおりました。
大変お世話になりました。

お礼日時：2009/01/02 13:05