２変数関数の極限値を求める問題（rsinθ,rcosθを使った解き方）

以前、こちらで２変数関数の極限値を求める問題の解法を
教えていただいたのですが、その方法以外に、x=rcosθ,y=rsinθを
使って解く方法で問題を解いてみました。
この解き方で正しいか、ご指南のほど、よろしくお願いします。

【問題】
lim[(x,y)→(0,0)] (xy)/(√(x^2+y^2))

【自分の解】
x=r・cosθ,y=r・sinθとおくと、
(xy)/(√(x^2+y^2))
= r^2(sinθcosθ)/(√(r^2・sin^2θ+r^2・cos^2θ))
= r^2(sinθcosθ)/(r・√(sin^2θ+cos^2θ))
= r^2(sinθcosθ)/(r・√1)
= r^2(sinθcosθ)/(r)
= r(sinθcosθ)
よって、lim[r→,0] r(sinθcosθ)=0
上記より、r→0のとき、極限値0が存在する。

以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/01/08 19:44

#2です。

補足します。

x,yをXY直交座標平面に対応付けるとき、
任意の点(x,y)の座標が
-∞＜x＜∞,-∞＜y＜∞
の範囲に属するとき
x=rcosθ,ｙ=rsinθ
なる関係式で極座標平面上の点(r,θ)と1:1に対応ずけ、
XY座標平面全体を極座標平面全体に対応付けるときは（r,θ）の変域を
0≦r＜∞,-π≦θ＜π（または-π＜θ≦π、または0＜θ≦2π）
の範囲に制限します。
直交座標と極座標の変換にこだわらないなら、（r,θ)に対して、別の変域を定義しても構いません。通常は上の変域を設定することが多いですね。
変数変換するときは、通常、変数の変域の対応関係を書くようにした方が良いと思います。そうするの、変換後の(r,θ)の不要な場合分けが後から発生しないで済みます。

この回答へのお礼

補足をしていただき、ありがとうございます。
なるほど、そういう風にすればスマートに記述できますね。
丁寧に説明していただき、よくわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/01/08 20:06

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/01/08 11:59

>x=r・cosθ,y=r・sinθとおくと、

これは、極座標に変換しているのか、単なる他の2変数に変換しているのかは,はっきりしません。
つまりrとθの関係が明らかではありません。
はっきりしない場合にはrが正負の値をとりうると考えます。
極座標の(r,θ),r=f(θ)の関係で変数変換を考えるならr>0で考えます。
(x,y)=(0,0)ではz=f(x,y)=(xy)/(√(x^2+y^2))は定義できませんので
r=√(x^2+y^2)≠0であることは当然です。
rを正だけに限定するか、正負を取りうるとするかは別にして
r負の場合も考慮すれば
z=g(r,θ)=|r|*sinθ*cosθ＝|r|*sin(2θ)/2
となります。
|r|→0に対して|z|=(|r|/2)|sin(2θ)|≦|r|/2→0
なので
lim[|r|→0] |r|(sinθcosθ)=0
が言えます。

この回答へのお礼

いつもありがとうございます。
細かい点までご指導していただき、大変ありがたいです。
大変お世話になりました。

お礼日時：2009/01/08 19:05

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/01/08 00:42

すばらし。

計算は、それでよいです。
記述としては、「よって」の部分で
(x,y)→(0,0) と r→0 が等価であることを
説明しないと、少し弱いような気もします。
そのためには、(x,y)→(0,0) の定義を確認したり、
場合によっては、それをεδ式に展開したり…
どこまで書くかは、読ませる相手にも依るでしょう。
r→0 した結果に θ が残るようだと
(x,y)→(0,0) の極限は収束しないので、
「r→0 の極限が θ に依存しないから」と
一言強調しておくとよいかも知れません。

この回答へのお礼

お返事が遅くなりました。
ご指導いただき、ありがとうございます。
ちゃんとあっていることがわかり、ほっとしてます。
お世話になりました。

お礼日時：2009/01/08 19:03