重積分の質問です

重積分に関する質問です。
教科書の章末問題にあった問題なのですが、自分で解いてみても答えが合わず、
解答のところにも答えしか載っていないため困っています・・・。どうかご教授お願いします。

[1]変数変換を用いて、次の重積分を求めよ。
∬D √(1-x^2-y^2)dxdy , D={(x,y);x^2+y^2≦x}

[2]次の体積を求めよ。
(1) x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)=a^(2/3)(a>0)で囲まれた部分。
(2) x^2+y^2=4-zとxy平面で囲まれた部分。

答え
[1](3π-4)/9 [2](1)4πa^3/35 (2)8π

以上です。よろしくお願い致します。

No.8 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/01/26 16:59

#1,#2,#4-#6です。

A#4の補足質問の回答
[1]
>> =(1/3)[1-sin^3(θ)]
>の形に辿り着けました

>積分領域が[-π/2,π/2]では答えが求まらないのに
>積分領域を[0,π/2]として求まった結果を2倍すると答えが求まるのですか？
>V=∫[0,cosθ] r√(1-r^2) dr
>=-(1/3)[(1-r^2)^(3/2)] [0,cosθ]
>=(1/3)[1-{1-cos^2(θ)}^(3/2)]
>=(1/3)[1-sin^3(θ)]
この積分過程で
{1-cos^2(θ)}^(3/2)={sin^2(θ)}^(3/2)
=|sin^3(θ)|
=|sinθ|*sin^2(θ)
なのです。
なので
V=(1/3)∫[-π/2,π/2]{1-|sinθ|*sin^2(θ)}dθ…(■)
=(1/3)[∫[0,π/2]{1-sin^3(θ)}dθ+∫[-π/2,0]{1+sin^3(θ)}dθ]…(●)
で計算する必要があるわけです。
(■)の段階で被積分関数が偶関数であることを認識していれば
V=2(1/3)∫[0,π/2]{1-|sinθ|*sin^2(θ)}dθ
と出来ます。
(●）の後半の式はθ=-θ'で変数変換すれば前半の積分と式になりますね。
いずれも積分は[0,π/2]区間の積分の2倍になると言うことです。
対称な積分は対称の性質をうまく使い、積分変数を正の領域だけで積分するようにすれば、絶対値などの問題で戸惑わないですみます。

A#4の2番目の補足質問の回答
>x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) (a>0)
>で囲まれる部分の面積Sを求めよ。
>
>という問題があったのですが、こちらも同様に、x,yに絶対値が必要なのですか？
同様に絶対値をつけて
|x|^(2/3)+|y|^(2/3)=a^(2/3) (a>0)
とするか、または
(x^2)^(1/3)+(y^2)^(1/3)=a^(2/3) (a>0)
としないといけませんね。
理由は、負の全ての実数のxやyについて
x^(2/3)やy^(2/3)が定義できないからです。

この回答へのお礼

返信が遅くなりすみません…。
詳しい解説ありがとうございます。おかげ様で疑問が解決しました。
また、本題の方も何度も回答して頂きありがとうございました。
複数のご回答があるのですが、こちらでまとめてお礼という形をとらせて頂きたいと思いますのでご了承頂きますようお願い致します。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2009/01/27 21:11

No.7 回答者： noname#111804 回答日時： 2009/01/26 15:13

[1]変数変換を用いて、次の重積分を求めよ。

∬D √(1-x^2-y^2)dxdy , D={(x,y);x^2+y^2≦x}

において、半径＝１の球を考える。
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝１であり。
ｚ＝√(1-x^2-y^2)となり、被積分関数は上半球となる。

一方、積分領域は
D={(x,y);x^2+y^2≦x}
＝{(x,y);（ｘ－１/2）^2+y^2≦（１/2）＾２}
となり。
中心点（１/2、０）で半径１/2の低円の円柱が切り取る
体積をもとめることになります。

・積分領域「０、π/２」の場合

ｒ＝cosθ
ｘ＝ｒcosθ
ｙ＝ｒsinθ
となります。
関数行列式｜D|＝ｒとなり
面積要素は
dxdy－－－＞ｒｄθｄｒ・・・・（１）
となります。

極座標変換により

V=∫[０,π/2]∫[0,cosθ] r√(1-r^2) dr dθ
＝∫[０,π/2]dθ 「（－１/3）｛（１－r^2)＾３/2｝」 [ｒ＝0,cosθ]
＝１/3∫[０,π/2]（１－sinθ＾３）dθ
＝１/3[θ＝０,π/2]（θ＋cosθ－（１/3）cosθ＾３）
＝１/9（π/2ー２/3）
＝１/18（3πー４）・・・・・（２）

・積分領域「-π/２、０」の場合

ｒ＝cosθ
ｘ＝ｒcosθ
ｙ＝－ｒsinθ

関数行列式｜D|＝－ｒとなります。
つまり
dxdyーーーーーー＞－ｒｄθdｒ・・・・・（３）

V=∫[-π/2、０]∫[0,cosθ]（－ r）√(1-r^2) dr dθ
＝∫[-π/2、０]dθ∫[ 「（１/3）｛（１－r^2)＾３/2｝」 [ｒ＝0,cosθ]
＝１/3∫[-π/2、０]（sinθ＾３-１）dθ
＝１/3[（ーθーcosθ+（１/3）cosθ＾３）[θ＝-π/2、０]
＝１/18（3πー４）・・・・・（４）

（２）＋（４）
＝（１/9)（３πー４）

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
sakurada6様のご意見は計算の際、大変参考になりました。
info22様と同様に複数回ご回答頂いているのですが、
こちらもまとめてお礼という形をとらせて頂きたいと思いますので、どうかご了承願います。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2009/01/27 21:16

No.6 回答者： info22 回答日時： 2009/01/25 10:56

#1,#2,#4,#5です。

A#5の最初の
>#1-#4です。
は「#1,#2,#4です。」に訂正ください。
#3さん、失礼しました。

[2](1)の比較的簡単に積分できる別解です。
積分法の発想を変更し、変数変換を巧妙に使いますのでじっくり変換の意味を考えて追ってみてください。
V=∫∫∫_D dxdydz
D:{(x,y,z)| |x|^(2/3)+|y|^(2/3)+|z|^(2/3)<a^(2/3),a>0}
重積分の三次元座標空間での立体の対称性から
V=8∫∫∫_D1 dxdydz
D1:{(x,y,z)| x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)<a^(2/3),a>0,x≧0,y≧0,z≧0}
立体の相似性からa=1の場合の立体の相似比aの3乗倍(a^3)になることから
V=8(a^3)∫∫∫_D2 dxdydz
D2:{(x,y,z)| x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)<1,x≧0,y≧0,z≧0}
x=X^3,y=Y^3,z=Z^3なる変数変換をすると
dxdydz=27(X^2)(Y^2)(Z^2)dXdYdZなので
V=8*27(a^3)∫∫∫_D3 (X^2)(Y^2)(Z^2)dXdYdZ
D3:{(X,Y,Z)| X^2+Y^2+Z^2<1,X≧0,Y≧0,Z≧0}

V=8*27(a^3)∫[0,1]X^2dX∫[0,(1-X^2)^(1/2)]Y^2dY∫[0,(1-X^2-Y^2)^(1/2)}(Z^2)dXdYdZ
=8*27(a^3)∫[0,1]X^2dX∫[0,(1-X^2)^(1/2)]Y^2dY[(Z^3)/3][0,(1-X^2-Y^2)^(1/2)]
=(8*27/3)(a^3)∫[X:0,1]X^2{∫[Y:0,(1-X^2)^(1/2)](Y^2)(1-X^2-Y^2)^(3/2)dY}dX
=(8*27/3)(a^3)∬_D4　(X^2)(Y^2)(1-X^2-Y^2)^(3/2)dXdY
D4:{(X,Y,Z)| X^2+Y^2<1,X≧0,Y≧0}
X=r*cosθ,Y=r*sinθと変数変換すると
dXdY=rdrdθ
(1-X^2-Y^2)^(3/2)=(1-r^2)^(3/2)
(X^2)(Y^2)=(r^4)(cosθ)^2*(sinθ)^2
=(r^4)(1/4){sin(2θ)}^2=(r^4)(1/8){1-cos(4θ)}
であるから
V=(8*27/3)(1/8)(a^3)∬_D5 (r^4){1-cos(4θ)}(1-r^2)^(3/2)rdrdθ
D5:{(r,θ)|0≦r≦1,0≦θ≦π/2}
V=(27/3)(a^3)∫[0,π/2]{1-cos(4θ)}dθ*{∫[0,1](1-r^2)^(3/2)(r^4)rdr}
p=r^2と変数変換して r:[0,1]⇒p:[0,1],dp=2rdr⇒rdr=(1/2)dp
V=(27/3)(a^3){[θ-sin(4θ)/4][0,π/2]}*{∫[0,1](1-p)^(3/2)(p^2)(1/2)dp}
=(27/3)(a^3)(π/2)(1/2)∫[0,1](1-p)^(3/2)(p^2)dp
部分積分を繰り返して
V=(27π/12)(a^3){[-(2/5)(1-p)^(5/2)p^2][0,1]+(2/5)∫[0,1](1-p)^(5/2)(2p)dp
=(27π/12)(a^3)(4/5)∫[0,1](1-p)^(5/2)pdp
=(27π/12)(a^3)(4/5){[-(2/7)(1-p)^(7/2)p][0,1]+(2/7)∫[0,1](1-p)^(7/2)dp}
=(27π/12)(a^3)(4/5)(2/7)[(-2/9)(1-p)^(9/2)][0,1]
=(27π/12)(a^3)(4/5)(2/7)(2/9)
となりこれから正解の答が出てきます。

No.5 回答者： info22 回答日時： 2009/01/25 00:16

#1-#4です。

A#4の最後の式に(a^3)が抜けましたので訂正してください。
> V=8(a^3)*(π/70)=(4/35)π
V=8(a^3)*(π/70)=(4π/35) a^3

参考URLはVyの積分で不定積分サイトを利用した例です。

参考URL：http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%28b …

No.4 回答者： info22 回答日時： 2009/01/25 00:08

#1,#2です。

A#2の補足の解答について
>r=sinφ として、変数を変換すると
>∫[0,cosθ] r√(1-r^2) dr
被積分関数をみれば、合成関数の微分の形をしていることに気がつけば
変数変換の必要性が無いことが分かるはずです。
r√(1-r^2)=-(1/2)(-r^2)'*(1-r^2)^(1/2)
=-(1/2)(1-r^2)'*(1-r^2)^(1/2)
=-(1/2)(2/3)*{(1-r^2)^(3/2)}'
=-(1/3)*{(1-r^2)^(3/2)}'
なので
∫[0,cosθ] r√(1-r^2) dr
=-(1/3)[(1-r^2)^(3/2)] [0,cosθ]
=(1/3)[1-{1-cos^2(θ)}^(3/2)]
=(1/3)[1-sin^3(θ)]
後はθで積分するだけです。
続きをやって見てください。

[2](1)
答からすると
問題が不完全で
|x|^(2/3)+|y|^(2/3)+|z|^(2/3)=a^(2/3)(a>0)
でないといけませんね。
（元の式ではa<x<0の負の実数xの全てでx^(2/3)が定義されないため）

実際の積分は立体の対称性からx,y,z≧0の領域の立体部分を計算して
8倍すれば良いです。なのでこのx,y,z≧0の領域では、曲面の式の
絶対値ははずせます。

また、立体はaを変化させたとき、相似立体になりますので、a=1について体積を求め、相似比aの３乗「a^3」を掛けてやれば良いですね。

V=8(a^3)∫[0,1]【∫[0,{1-x^(2/3)}^(3/2)] {1-x^(2/3)-y^(2/3)}^(3/2)dy】dx
Vy=∫[0,{1-x^(2/3)}^(3/2)] {1-x^(2/3)-y^(2/3)}^(3/2)dy
↑これは式が複雑で長くなって、少し難しいので
下記の参考URLの不定積分サイトを利用していただいた方が早いと思います。不定積分の結果から置換のヒントが得られますのでゆっくりと考えて見てください。
積分サイトを利用する場合は仮に
1-x^(2/3)⇒b^2,y⇒xと置き換えて
(b^2-x^(2/3))^(3/2)
を積分してみてください。
後から置き換え前の変数に戻してVyを求めてください。

その後、xで[0,1]で定積分すると
V=8(a^3)*(π/70)=(4/35)π
が出てきます。

参考URL：http://integrals.wolfram.com/index.jsp

この回答への補足

[1]
なるほど、合成関数の微分ですか。全く気がつきませんでした…。
おかげ様で、ご提示頂いた
> =(1/3)[1-sin^3(θ)]
の形に辿り着けました。

θで積分して
1/3∫[-π/2,π/2]（１－sinθ^3）dθ
=1/3∫[-π/2,π/2](1+sin3θ/4-3sinθ/4) dθ
=1/3[θ-cos3θ/12+3cosθ/4][-π/2,π/2]

としたのですが、±π/2をθに代入しても答えが得られないので
sakurada6様の方法を参考にして計算しました。
その結果、
=2/3[θ-cos3θ/12+3cosθ/4][0,π/2]
=2/3(π/2-2/3)
=(3π-4)/9
となり、無事に答えが求まりました。

ここで質問するのはおかしいかもしれないのですが、なぜ積分領域が[-π/2,π/2]では答えが求まらないのに
積分領域を[0,π/2]として求まった結果を2倍すると答えが求まるのですか？
やっていることは同じではないのですか？
あまりにも当たり前のことを質問しているのだったら申し訳ありません。
お暇があればでよいので回答をお願いします。

[2]
参考URLから、不定積分の結果を拝見しました。…が、とても手計算で求まるような気がしません…。
テストに出ないことを祈って、こちらはまた時間のある時にゆっくり考えてみたいと思います。

・教科書のミス(?)の件について
教科書の問題のところに、info22様の仰る旨のことを書いておきたいと思います。
ところで、教科書を見返してみたら

x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) (a>0)
で囲まれる部分の面積Sを求めよ。

という問題があったのですが、こちらも同様に、x,yに絶対値が必要なのですか？

[1]と同様、お暇があればでよいので回答をお願いします。

補足日時：2009/01/25 10:23

No.3 回答者： noname#111804 回答日時： 2009/01/24 22:54

[1]変数変換を用いて、次の重積分を求めよ。

∬D √(1-x^2-y^2)dxdy , D={(x,y);x^2+y^2≦x}

において、半径＝１の球を考える。
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝１であり。
ｚ＝√(1-x^2-y^2)となり、被積分関数は上半球となる。

一方、積分領域は
D={(x,y);x^2+y^2≦x}
＝{(x,y);（ｘ－１/2）^2+y^2≦（１/2）＾２}
となり。
中心点（１/2、０）で半径１/2の低円の円柱が切り取る
体積をもとめることになる。

V=∬D √(1-x^2-y^2)dxdy
極座標変換により

V=２∫[０,π/2]∫[0,cosθ] r√(1-r^2) dr dθ
＝２∫[０,π/2]dθ[ｒ＝0,cosθ] 「（－１/3）｛（１－r^2)＾３/2｝」
＝２/3∫[０,π/2]（１－sinθ＾３）dθ
＝２/3[θ＝０,π/2]（θ＋cosθ－（１/3）cosθ＾３）
＝１/9（３πー４）

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/01/24 19:52

#1です。

[1]
>V=∫[-π/2,π/2]∫[0,cosθ] r√(1-r^2) dr dθ
この式は合っていますが、以降の計算のプロセスが書いてありませんので
チェックが出来ません。正誤にかかわらず計算のプロセスを補足に書いてください。
>(sinθ)^5なるものが出てきてしまい
この項は出てきませんのでこの時点で計算が間違っていますね。
最初の変換式を正しく積分できれば正しい結果が出てきます。
A#1のヒントの式をそのまま積分しても同じ結果が得られています。

[2]
>変域を
>0≦x≦a
>0≦y≦{a(^2/3)-x^(2/3)}^(3/2) として
>z={a^(2/3)-x^(2/3)}^(3/2) より
D:{(x,y,z)|x≧0,y≧0,z≧0,x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)≦a^(2/3),a>0}…(■)
ということでいいですね。
x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)=a^(2/3)(a>0)の関数は
x≧0,ｙ≧0,z≧0でしか定義できません。
>3次元のアステロイド(?)ではないかと思い、
>8∫[0,a]∫[・]…
なら
|x|^(2/3)+|y|^(2/3)+|z|^(2/3)=a^(2/3)(a>0)
または
(x^2)^(1/3)+(y^2)^(1/3)+(z^2)^(1/3)=a^(2/3)(a>0)
と書くべきですね。

なので(■)の領域の場合
V=∫[0,a]【∫[0,{a^(2/3)-x^(2/3)}^(3/2)] {a^(2/3)-x^(2/3)-y^(2/3)}^(3/2)dy】dx
となります。
x=r*cosθ,y=r*sinθと変数変換するのも一つの方法です。
やってみてうまくいかないなら、計算のプロセスを補足に書いて質問して下さい。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

[1]
ご指摘通り、前の計算では何か所も計算ミス・意味不明な計算方法をした箇所がありました…。
なので、置換積分でやってみることにしましたが、変域の変換(?)の部分で躓いてしまいました…。
途中過程を書きますので、チェックをお願いします。

r=sinφ として、変数を変換すると

r | 0 → cosθ　のとき
φ | 0 → ？　（ここで躓きました…）

∫[0,cosθ] r√(1-r^2) dr

（φの変数が分からなかったため、以降は積分の領域を空欄にしています）

=∫[,]sinφ・cosφ dr

dr/dφ=cosφ より、

(与式)=∫[,]sinφ・(cosφ)^2 dφ

=∫[,]{sinφ-(sinφ)^3}dφ

(sinφ)^3=(-sin3φ+3sinφ)/4 より
=∫[,](sin3φ+sinφ)/4 dφ
=(1/4)・[-cosφ/3-cosφ][,]

…と、ここまでしか計算できませんでした…。
そもそも、一度xをrで置換したのに、さらにrをφで置換するのはOKなのでしょうか？


[2]
∫[0,{a^(2/3)-x^(2/3)}^(3/2)] {a^(2/3)-x^(2/3)-y^(2/3)}^(3/2)dy

a^(2/3)-x^(2/3)-y^(2/3)}^(3/2)の部分をどのようにyで積分すればよいのでしょうか？
タブーなのは承知なのですが、計算方法の切り口を教えて頂けないでしょうか？
まったく手がつけられない状態です…。

解答の方、お待ちしております。

補足日時：2009/01/24 21:49

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/01/24 16:58

問題を並べるだけの質問はマナー違反になります。

ご自分の自助努力の解答を補足に書いて、行き詰った箇所だけ質問するなり、解答は合っていますかなどとチェックを依頼するなどするようにして下さい。

ヒントだけ
[1]
V=2∫[0,1]{∫[0,√(x-x^2)](1-x^2-y^2)^(1/2)dy}dx
を積分するだけ。

[2](1)
囲まれた立体の領域が明示的に書いてない不完全な問題です。
補足必要。

(2)放物線の単なるz軸の周りの回転体の体積
V=π∫[0,4](4-z)dz
を積分するだけ。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

・質問の仕方について
以後、質問させていただく際は質問したい点を絞ってから質問したいと思います。すみませんでした。

以下に自分の考え方等を書きますので、チェック・補足をお願いします。

[1]
info22様の解答には変数変換が使われていないように思うのですが…。間違っていたらすみません。

以下、自分の考え
x=rcosθ
y=rsinθ　として

変域を
-π/2≦θ≦π/2
0≦r≦cosθ　と定めて

与式を
∫[-π/2,π/2]∫[0,cosθ] r√(1-r^2) dr dθ

として部分積分で計算していたのですが、rについて積分した結果、(sinθ)^5なるものが出てきてしまい
果たしてあっているのかどうか不安です…。変域等に自信がないのでチェックをお願い致します。
もし合っているのなら、何とか頑張ってみたいと思います。

[2](1)
問題は教科書のものをそのまま書き写しているので、不足はないはずなのですが…。

以下、自分の考え
3次元のアステロイド(?)ではないかと思い、
変域を
0≦x≦a
0≦y≦{a(^2/3)-x^(2/3)}^(3/2) として

Z={a^(2/3)-x^(2/3)}^(3/2) より
(変域やZの決め方がよく分からず、かなり適当です…)

8∫[0,a]∫[0,{a(^2/3)-x^(2/3)}^(3/2)]Z dy dx

=8∫[0,a]{a^(2/3)-x^(2/3)}^3 dx

=(16/105)a^3
となって答えと全く違うものになってしまいました…。そもそも、このままではどう積分してもπがでてこないので行き詰っています…。

(2)に関しては理解できました。ありがとうございました。

では再度、よろしくお願い致します。

補足日時：2009/01/24 17:51