f_n(x)=xn・e^(-xn^2)のとき、[0,1]上でf_nは各点収束するか、一様収束するか?という問題なのですが、私は
ロピタルの定理より、各x∈Iに対して、|xn・e^(-xn^2)|→0(n→∞)を得るのでf(x)=0に各点収束する。
また、ある正の数εがあって、sup(f_n(x)-f(x))=1/e>ε(n→∞)より0に一様収束しない。
結局f_n(x)はf(x)=0に各点収束。
としました。しかし
lim∫[0,1]f_n(x)=∫[0,1]f(x)=0となりました・・・※
そこで思ったのですが、
f_nがfに[0,1]上一様収束ならば※が成り立つのは明らかですが、各点収束でもなりたつことはあるのでしょうか?もしないのなら上の解答が間違ってることになりますよね・・
どなたか回答よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
f_n が f に [0,1] 上一様収束ならば、※ が成り立つ
⇔ f_n が f に [0,1] 上一様収束でない、または、※ が成り立つ
各点収束で ※ が成り立っても、オカシイことは何もありません。
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