No.3
- 回答日時:
No.2 と比べれば判るように、貴方の式は、
k = { (log a)×Σ(log y) - Σ(log y × log x) } / Σ(log x)^2 が、
(∂/∂k) Σ{ (log y) - log(a x^k) }^2 = 0 を変形したもので、
log y の二乗誤差を最小にする a, k を求める式の一部、
a = Σ(y x^k) / Σ{ x^(2k) } が、
(∂/∂a) Σ( y - a x^k )^2 = 0 を変形したもので、
y の二乗誤差を最小にする a, k を求める式の一部、
になっています。どちらか一方に統一すれば、それなりの解が得られます。
どちらに統一すべきかは、応用上の都合で決まるので、
数学というより、その卒業研究の内容に従って考えるべきでしょう。
y の二乗誤差のほうを最小化することに決めた場合、
a, k の連立方程式は、非線形方程式になりますから、
反復法などを使って、近似解を求めるしかありません。
そちらが希望なら、ニュートン法などについて調べてみるとよいでしょう。
参考: http://akita-nct.jp/yamamoto/lecture/2007/5E_com …
No.2
- 回答日時:
こんばんは。
No.1様のご回答のように、
y = ax^k
から
lny = klnx + lna (自然対数)
あるいは、
logy = klogx + loga (常用対数)
としてから、
logy と logx との関係を最小二乗法として考える方法が一つ。
この方法は、両対数グラフを作ったときの、直線と各点とを近づけたい場合に用います。
もう一つは、対数目盛りでないグラフ(曲線になります)において、
各点と曲線とを近づけるという目的で行う方法です。
誤差をεと置けば、
y + ε = ax^k
ε = ax^k - y
ε^2 = (ax^k - y)^2
= a^2・x^2k - 2ayx^k + y^2
データに番号をつければ、
εn^2 = a^2・xn^2k - 2aynxn^k + yn^2
よって、2乗誤差の合計Sは、
S = Σεn^2
= Σa^2・xn^(2k) - 2Σaynxn^k + Σyn^2
= a^2・Σxn^(2k) - 2a・Σynxn^k + Σyn^2
ここで、
xn、yn はデータなので、既知の定数です。
逆に、aとkは不明ですから、変数として考えることができます。
Sを最小にするには、Sがaやkに関して極値を取るようにすればよいのですから、
それは、Sをaやkで偏微分したときにゼロになるようにすればよいということです。
S = a^2・Σxn^(2k) - 2a・Σ(yn・xn^k) + Σyn^2
でしたから、
∂S/∂a = 2a・Σxn^(2k) - 2・Σ(yn・xn^k)
= 2(a・Σxn^(2k) - Σyn・xn^k)
∂S/∂k = a^2・Σ(2lnxn・xn^(2k)) - 2a・Σ(yn・lnxn・xn^k)
= 2a(a・Σ(lnxn・xn^(2k)) - Σ(yn・lnxn・xn^k))
これらがゼロになればよいので、
a・Σxn^(2k) - Σ(yn・xn^k) = 0
a・Σ(lnxn・xn^(2k)) - Σ(yn・lnxn・xn^k) = 0
という連立方程式で、aとkが決まります。
この先は、計算していません。
以上、ご参考になりましたら幸いです。
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