物理II等速円運動の加速度の大きさ

等速円運動の加速度を求める途中の式について。

ある参考書で勉強しているのですが、

oを中心に円運動している物体があります。
物体がaからbへ進むとします。
このとき、a地点、b地点における物体の速度ベクトルをｖ１、ｖ２とします。

このときの速度の変化量は、

△ｖ＝ｖ２－ｖ１（ベクトルをうまく記述できません。つまり、この式は速度の変化量です。等速円運動なので、大きさは同じで、向きが変わるわけです。ｖ２とｖ１はベクトルなので、その差が０ではありません。）

oa、obのなす角を△シーターとしますと、△シーターが小さいのを条件に、
△ｖの大きさは
（絶対値△ｖ）近似値ｖ１×△シーター
※ｖ１はベクトルでない大きさとしてのｖ１

と表すことができるとあります。

どうしてこうなるのか説明できる方はいますか。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： my-ethh 回答日時： 2009/01/29 20:46

※非常に言葉にしにくいので・・・分からなかったらすみません。

v1ベクトルとv2ベクトルを平行移動させ始点を一致させたとき、その間の角はΔθになります。
Δv＝v1ベクトルーv2ベクトル＝v1の終点からv2の終点
となり、その大きさは基本的には三角形とみて計算すべきですが、Δθが小さい場合、半径v1(=v2)、内角Δθの円弧としてみなします。（＝近似）
よって弧の長さの公式より(以下大きさ）Δv≒v1×Δθとなります。

参考URLに説明は簡素ですが参考になりそうな図があります。『等速円運動の「加速度」』のところです。

参考URL：http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/circularM …

この回答へのお礼

つまり、L＝ｒ×シーター（内角？）の式の応用ですね。

これで分かりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2009/01/30 18:46

No.4 回答者： Jyaikosan 回答日時： 2009/01/29 22:57

主な疑問点は

「oa、obのなす角とv1とv2のなす角がなぜ同じ△θになるのか」

ということでしょうか？

oaとv1は直角、obとv2も直角なのはいいでしょうか。

△θの角度をなす2本の棒を両方とも同じ角度だけ折り曲げても、曲げた後の
2本の棒のなす角度△θ自体は変化しませんよね。

曲げる前の棒をoaとob、曲げた後の棒をv1とv2、曲げた角度を直角とすれば
v1とv2のなす角が△θになることは理解できると思います。

|△ｖ|は|v1|と|v2|を等辺とする二等辺三角形の底辺ですが△θが小さいために、
半径が|v1|=|v2|、中心角が△θの扇形の弧の長さで近似することができます。

|△ｖ|≒|v1|△θ

この回答へのお礼

とにかくも解決しました。
丁寧な回答をありがとうございます。

L＝r×シーターの応用だったわけです。

お礼日時：2009/01/30 18:57

No.3 回答者： yokkun831 回答日時： 2009/01/29 21:04

速度ベクトルv1，v2の始点を合わせてみてください。

（始点を原点として速度ベクトルの変化を終点の描く曲線として追跡した図をホドグラフといいます。等速円運動のホドグラフはやはり円になり，速度ベクトルの終点はやはり等速円運動します。）
v1とv2の間の角度はΔθになりますね？そしてΔvはv1の終点からv2の終点へ向かうベクトルです。Δθが十分小さければ，|Δv|はΔθに対する弧の長さに近似されます。すなわち，|Δv|≒|v1|Δθとなるのです。もちろん，Δθは弧度法による角度[rad]であることはご存知ですね？

この回答へのお礼

ホドグラフのことは知りませんでした。
とにかく、L＝r×シーターの応用ということが分かりました。

ありがとうございます。

たったこれだけに１ヶ月くらい考えてしまいました。

お礼日時：2009/01/30 18:52

No.2 回答者： e_o_m 回答日時： 2009/01/29 20:57

v1とv2のなる角度はΔθです。

Δv=v2-v1
の三角形は、v1とv2の長さが等しい二等辺三角形なので
|Δv|=2×|v1|sin(ΔΘ/2)≒|v1|ΔΘ
（ΔΘ<<1からsin(ΔΘ/2)≒ΔΘ/2を最後に使っています）

参考になりましたら幸いです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
（　）のなかの説明が自分には理解できませんでした。
すいません。

お礼日時：2009/01/30 18:43