留数定理の問題です！！

Question

∫(０→∞］１／(ｘ＾２＋１)＾３　ｄｘ　という問題なのですが、どんな本にもこのような形のものがなく、どのような答えになるかわかりません。
よろしかったらどなたか解法を教えてください。

jaspachate · Accepted Answer

No.1 です。
「なぜ留数定理なのかわからない」と書いたのは、「どんな本にもこのような形のものがなく」と言われるので、実積分ではできないか特殊なものと思われているのだろうと考えたためです。留数を使って解くなら教科書に載っている複素積分の例題演習程度の易しい問題なので、お答えするならこれも実は難しくない部類の実積分を示そうと考えたわけです。回答としては片手落ちの形ですね。
ご質問としては丸投げの形と取られるかもしれないので削除される可能性がありますから、以下の補足が役に立つならセーブされることをお勧めします。

留数を用いる解法については、すでに他の方々が回答されているので概略だけを示せば、
被積分関数は偶関数なので、x を複素数、積分範囲を-∞～∞に拡張し、上半平面に x=i で3位の極を持つのでそれを囲むように、実軸と原点を中心とする上半平面の半円をとって半径→∞の極限を取れば、積分は結局 x=i での留数(の2πi倍)(積分範囲を拡張したのでさらに1/2倍)になります。留数は lim[x→i] [ (d^3/dx^3){ (x-i)^3/((x+i)(x-i))^3 } ]。

一般に多項式有理関数　f(x)=Q(x)/P(x) （P、Qは多項式）の実積分は初等関数で表すことができます。それには部分分数展開して分子を１次以下、分母を2次以下にしますが、そのためには分母の零点を求めて因数分解する必要があります。
複素積分でも極を定めるために分母の多項式の零点を求める必要があり、留数を求めるためには極の位数に従って微分するか、部分分数展開するので、ほとんど同じことをやる手間が必要です。
いずれでやるにせよ、多項式の零点は５次以上になると一般には（特殊な場合を除いて）代数的に求める事ができないことに注意して下さい。４次までなら代数的解の公式があります。

さて、実解析の場合ですが、上記のような多項式有理関数を部分分数展開できたならば、もっとも次数の高い項は (ax+b)/(x^2+2px+q)^n (p^2-q<0、n≧1)の形になります。これを平方完成して t=x+p と変数変換すると、結局 t/(t^2+a^2)^n と 1/(t^2+a^2)^n の形の積分の和に帰着します。

最初のものはt^2+a^2 = u と変換すれば簡単です。
次のものは、
I[n] = ∫dt/(t^2+a^2)^n　(n≧1)
とおいて漸化式を求めます。ここで、
I[1] = ∫dt/(t^2+a^2) = (1/a)tan^(-1)(t/a) 
は、t = a tanθ と変換するお馴染みの積分です。

n≧2 に対して、I[n-1] に部分積分を施せば、
(d/dt)(t^2+a^2)^(-(n-1)) = -2(n-1)t(t^2+a^2)^(-n)
を利用して、
I[n-1] = x/(x^2+a^2)^(n-1) + 2(n-1)I[n-1] - 2a^2(n-1)I[n]
ゆえに、
I[n≧2] = ( 1/(2a^2(n-1)) ) ( (2n-3)I[n-1] + x/(x^2+a^2)^(n-1) )

これから　1/(x^2+1)^3 の積分が求められます。部分積分は留数を求めるための微分より大変そうに見えますが、形は簡単なので慣れているかどうかだけですね。実はこれは大学4年以下の理系の実解析学で学ぶはずのものです。

info22 · Answer

#3です。
何事もやってみてから、比較する法がいいですね。
(1)留数定理の方法
(2)x=tan(t)と置換する方法
(2-1)#1さんの方法（不定積分を計算してから定積分を求める方法）
(2-2)#4さんの方法(三角関数の倍角の公式使用)
いずれも慣れれば、難易度はそんなに変わりません。
結果はどの方法でも
(3/16)π
となります。

なお、
留数は
Re(z=i)=(1/2)(1/[2(z+i)^3})''|z=i
 =3/(x+i)^5|z=i
 =-(3/32)i
となって
I=2πi*Re(z=i)=(3/16)π
が出てきます。

Tacosan · Answer

たぶん x = tan θ, θ: 0→π/2 と置くと積分できるんじゃないかなぁという気もする. cos^4 θ の定積分かな?

e_o_m · Answer

∫[0→∞]1/(x^2+1)^3 dx=∫[-∞→0]1/(x^2+1)^3 dx　なので
∫[0→∞]1/(x^2+1)^3 dx=1/2∫[-∞→∞]1/(x^2+1)^3 dx
この積分を留数を使って計算します。
上半平面での半円を積分路とする周回積分の経路をCとすると
c=c1＋c2
（C1はx軸上-∞→∞、C2は上半平面での半円）
∫c 1/(z^2+1)^3 dzの積分路の中にはz=iの極が含まれているので、留数定理から
∫c 1/(z^2+1)^3 dz=2πi×(z=iでの留数)
C2上での積分は0になるので結局
∫[-∞→∞]1/(x^2+1)^3 dx=∫c1 1/(z^2+1)^3 dz=∫c 1/(z^2+1)^3-0=・・・
と計算出来ますね。

info22 · Answer

ここは問題を丸投げして丸解答してもらう所ではありません（禁止事項で削除対象）。
ここで質問する前に講義ノートや教科書で調べたり、授業担当の先生に質問して、自力解答が出来るようになったら、分かる範囲で自分で作った解答を書いて、分からない箇所だけ質問したり、解答のチェック依頼の質問をして下さい。

質問の問題は基本的な問題ですから、留数定理や積分定理・公式を習っているなら、誰でも解ける問題です。

ヒント）
参考URLに一般化した
∫[-∞,∞] 1/(1+x^2)^(n+1)dx
の留数法の複素積分法がそっくり掲載されています。
n=2とし、積分範囲を[0,∞]とするだけで質問の問題と同じになります。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0

jaspachate · Answer

なぜ留数定理なのかわかりませんが、これは不定積分できて、
(1/8)( x(3x^2+5)/(x^2+1)^2 + 3tan^(-1)(x) )
です。微分して確かめて下さい。
定積分はこれに代入すれば出ます。

留数定理の問題です！！

No.1 です。

#3です。

たぶん x = tan θ, θ: 0→π/2 と置くと積分できるんじゃないかなぁという気もする. cos^4 θ の定積分かな?

∫[0→∞]1/(x^2+1)^3 dx=∫[-∞→0]1/(x^2+1)^3 dx なので

ここは問題を丸投げして丸解答してもらう所ではありません（禁止事項で削除対象）。

なぜ留数定理なのかわかりませんが、これは不定積分できて、

この回答への補足

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