軌道角運動量の各成分を極座標表示しようとしています。
結果は分かっているんですが、途中の計算が分かりません・・。
Lx=-i*h/2π(y*∂/∂z - z*∂/∂y)で、
∂/∂x = (∂/∂r)(∂r/∂x)+(∂/∂θ)(∂θ/∂x)+(∂/∂φ)(∂φ/∂x)という変換の式を使うと思うのですが、
これを計算してもうまくいきません。
自分では、計算の途中で(∂r/∂x)=(1/(∂x/∂r))としているところあたりが間違っているのではないかと思うのですが、
この操作はだめなんでしょうか?
よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>rではなくθやφの場合は前述したような操作を行っても大丈夫なんでしょうか?
同様に
(∂θ/∂x)=1/(∂x/∂θ)、(∂φ/∂x)=1/(∂x/∂φ)、yやzもすべてダメです。
そのように、x,y,zに関する偏微分をr,θ,φに関する偏微分に直したい時はヤコビ行列の逆行列を使えば表せますが、3×3行列の逆行列を求めなければいけないので実用的ではありません・・・
tanφ=y/x
(tanθ)^2=(x^2+y^2)/z^2
をx,y,zで偏微分して地道にひたすら計算するのみです。
かなり大変ですのでやはり公式を覚えてしまうのがベストですね。
もしくは直行曲線座標におけるラプラシアンの公式と、ハミルトニアンと角運動量演算子の関係を覚えておけば、比較的早く導出することも可能です。
No.3
- 回答日時:
最初に極座標で計算してからデカルト座標に戻せば微分の計算は一切必要ありませんよ。
極座標r,θ,φ方向の単位ベクトルをE_r,E_θ,E_φとします。
位置ベクトルRと、運動量ベクトルPは極座標では
R=r*E_r , P=-ih/(2π)*∇=-ih/(2π)*[E_r*(∂/∂r)+E_θ*(1/r)(∂/∂θ)+E_φ*(1/rsinθ)(∂/∂φ)]
となります。
E_r×E_r=0 , E_r×E_θ=E_φ , E_r×E_φ=-E_θ
ですから、角運動量ベクトルLは
L=R×P=-ih/(2π)*[E_φ*(∂/∂θ)-E_θ*(1/sinθ)(∂/∂φ)]
となります。
E_θ,E_φを元のデカルト座標の単位ベクトルE_x,E_y,E_zで表わせば
E_θ=cosθcosφE_x+cosθsinφE_y-sinθE_z
E_φ=-sinφE_x+cosφE_y
なので、上のLの式に代入すれば
L=-ih/(2π)*[-E_x*(sinφ*(∂/∂θ)+cotθcosφ*(∂/∂φ))
+E_y*(cosφ*(∂/∂θ)-cotθsinφ*(∂/∂φ))+E_z*(∂/∂φ)]
を得ます。つまり
L_x=ih/(2π)*[sinφ*(∂/∂θ)+cotθcosφ*(∂/∂φ)]
L_y=-ih/(2π)*[cosφ*(∂/∂θ)-cotθsinφ*(∂/∂φ)]
L_z=-ih/(2π)*(∂/∂φ)
です。
No.1
- 回答日時:
>自分では、計算の途中で(∂r/∂x)=(1/(∂x/∂r))としているところあたりが間違っているのではないかと思うのですが、
この操作はだめなんでしょうか?
その通りです。
r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)から
(∂r/∂x)=1/2*(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)*2x=x/r=sinθcosφ
とするのが正しい計算です。
1/(∂x/∂r)=1/(sinθcosφ)
からも
(∂r/∂x)≠1/(∂x/∂r)
だとわかりますね。
この回答への補足
e_o_mさんありがとうございます!
rではなくθやφの場合は前述したような操作を行っても大丈夫なんでしょうか?
お手数ですがよろしくお願いします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 角運動量の式変形が分かりません。 4 2022/08/03 21:04
- 物理学 ミンコフスキー時空図の作図の仕方について 2 2023/04/30 10:01
- 物理学 面積速度一定の法則を(1/2)r v sinθを使って証明する方法 2 2023/06/25 12:43
- 生物学 【生命科学】ヒトが1日に消費するATP量?(精度を変えて再計算) 3 2022/10/07 18:48
- Excel(エクセル) いつもお世話になっております。 円の直径290、半径145 ですが、 添付のエクセルように 座標に中 2 2023/03/14 03:34
- 数学 線形代数の2次元直交座標系、極座標系についての問題がわからないです。 2 2022/07/16 20:42
- 物理学 微分方程式の物理現象への適用について 3 2023/05/14 12:22
- Excel(エクセル) エクセルで値ではなく関数を参照する方法 6 2023/03/19 00:50
- 数学 x=r・cosθの2回微分 θ=ωtとすると? 5 2022/05/10 23:53
- Chrome(クローム) Chromeの描画領域を2分割して異なるスクロール位置を同時に表示させることはできますか 1 2023/03/01 16:53
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
なぜ、θが微小なとき、tanθ≒θと...
-
高校物理の質問です。 【問題】...
-
有限長ソレノイドコイルの中心...
-
機械設計のねじ
-
電磁気の問題です
-
-cosθがsin(θ-π/2)になる理由が...
-
√3sinX−cosX≦√3 (0≦θ≦2π) のと...
-
矩形波duty比を変えた場合のフ...
-
sinとcosの使い分けの仕方を教...
-
くさび状態の2物体間のすべりの...
-
【数学】梯子の角度はハシゴの...
-
なぜsinθはθに近似できるのです...
-
中が中空の球の慣性モーメント...
-
トグル機構 Wikipedia
-
毛細管現象と表面張力について
-
(111)面を上にもってくる...
-
くぼみの表面積
-
質量無視できる2等辺3角形 Oの...
-
標的への斜方投射
-
サインカーブの長さ
おすすめ情報