兵庫県にある門戸厄神と清荒神は、神社ですか、それとも寺ですか？ - マナー・冠婚葬祭 - 教えて！goo

兵庫県にある門戸厄神と清荒神は、神社ですか、それとも寺ですか？
神という字が入っているので、最初は神社だと思っていたのですが、それぞれ、正式名称では東光寺、清澄寺という名前が付いているのを知り、実は寺なのかと思ったら、参拝した時、柏手を打っている人も多く見かけ、戸惑いました。 全国的に、寺の中に一部分神社があったり、その逆もあったような気がしますが、そういうのって、どういうことなんでしょうか？ それぞれの寺、神社に昔からの発祥や歴史の事情があるんだろうと思うのですが、一般的な話として御説明して頂ける方がいらっしゃれば、御教え下さい。