No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。
たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、
xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
= (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
= ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
= (4a + 4)/2
= 2a + 2
xの変化の幅を1つ減らせば、
xがaからa+1に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
= (y(a+1)-y(a))/(a+1 - a)
= ((a+1)^2 - a^2)/(a+1 - a)
= 2a + 1
では、xの変化をさらに1つ減らした場合を考えます。
それは、xをaからaに変化させるということです。
aがいかなる値であっても、y=x^2のグラフには、たしかに傾きがありますが、
傾きというのは、変化の割合と同じです。
ですから、答えがあるはずです。
そこで、上記と同じく、x=a における変化の割合を求めるとすると、どうなるかと言えば、
(y(a)-y(a))/(a-a) = 0/0 (=不定)
という、わけのわからない結果となってしまいます。
しかし、グラフの傾きも、変化の割合も存在するはずです。
そこで、非常に小さい変化量を、dをつけた記号で表すことを考えます。
xの変化は、 a → a+dx
yの変化は、 y(a) → y(a+dx)
xの変化量は、dx ( = a+dx - a)
yの変化量は、dy = y(a+dx) - y(a)
です。
x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
=(y(a+dx)-y(a))/(a+dx - a)
= ((a+dx)^2 - a^2)/(a+dx - a)
= (2adx + (dx)^2 )/dx
とすることができます。
分子に(dx)^2 がありますが、
dx自体が非常に小さい量ですので、(dx)^2 は、全く無視してよい量となります。
よって、
x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
= (2adx + (dx)^2 )/dx
= 2adx/dx
= 2a
となります。
これで、x=a のときの dy/dx は、 2a と表せることがわかりました。
ということは、いかなるxの値についても、
dy/dx = 2x
であるということです。
以上のことで、
・x^2 を微分したら 2x になること
・dy/dx は、xの変化に対するyの変化の割合
の意味がおわかりになったと思います。
そして、
たとえば、y、t、x の3変数があって、
ある地点において、
tの変化量のxの変化量に対する割合が4で、
yの変化量のtの変化量に対する割合が3だとしましょう。
すると、xが1変化するのに対してyは12変化します。
dt/dx = 4
dy/dt = 3
dy/dx = 12 = 3 × 4 = dy/dt・dt/dx
なお、
高次導関数の表記については、単なる約束事だと思っておけばよいです。
素直に書けば、
1回微分は、dy/dx
2回微分は、d(dy/dx)/dx
3回微分は、d(d(dy/dx)/dx)/dx
ということになりますが、これでは見にくいので。
以上、ご参考になりましたら幸いです。
No.1
- 回答日時:
d^ny/dx^n
→(d^n/dx^n)y = (d/dx)*(d/dx)*… = (d^n/dx^n)
となります
dt = t (i1) - t (i0)
dx = x (i1) - x (i0)
dy = y (i1) - y (i0)
つまり変化分
ですから、
dy/dt×dt/dx= {y(i1)-y (i0)}/{t(i1)-t(i0)}×{t(i1)-t(i0)}/{x(i1)-x(i0)}
={y(i1)-y (i0)}/{x(i1)-x(i0)}
=dy/dx
となります
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