No.1
- 回答日時:
> rとθの積分領域をどのように定めればいいのでしょうか?
Dの中の式で極座標の変換式を代入すればr,θの積分領域が決まります。
その際、r≧0,-π≦θ<π(または0≦θ<2π)であることを忘れないこと。
1≦r^2≦2 → 1≦r≦√2
0≦sinθ≦cosθ → -3π/4≦θ≦π/4
なので
変換後の領域は
D'={(r,θ)|1≦r≦√2,-3π/4≦θ≦π/4}
注意)このサイトのルールでは、質問者さんの考えた案(分かる範囲の解答)を書いて、行き詰ったところだけ質問することになっています。
質問を継続する場合は、補足に質問者さんのやった解答の過程を書いた上で質問して下さい。自力解答が出来る上がるまでやったことを書いて補足質問して下さい。
この回答への補足
rについては解答者さんのように求めたのですがθについてがわからず
私は図を書いて0≦θ≦π/4としたのですが本来はどのようにθを決定するのか
分からずに質問しました。
加えて質問なのですがなぜ
0≦sinθ≦cosθ → -3π/4≦θ≦π/4
となるのでしょうか?
無知ですいません。
No.2
- 回答日時:
#1です。
A#1の補足の質問の回答
-π≦θ<πの範囲で
0≦sinθ≦cosθ
となるθの範囲を求めるには
y=sinθとy=cosθのグラフ(概形でいいです)を重ねて描いて
y=cosθのグラフがy=sinθのグラフより上部(交点を含む)にくる
θの範囲を求めれば
-3π/4≦θ≦π/4
であることは簡単にわかるかと思います。
範囲が1つにつながっていますので積分を分割しないですみます。
最初のθの範囲を 0≦θ<2π で考えた場合は
同様にグラフを描いてθの範囲を求めると
0≦θ≦π/4 および 5π/4≦θ≦2π
と積分領域が2つに分かれて、積分を2つに分割して実行せねばならず
こちらのθの範囲を使わない方が無難でしょう。
(もちろん積分は正しく出来ますが、積分が煩雑になるだけです。)
No.3
- 回答日時:
問題1
f(x)=x^2+y^2のとき、積分領域D={(x,y):1≦x^2+y^2≦2、0≦y≦x}
とき、
次の二重積分を極座標変換で求めよ。
-----------------------------------
積分領域は半径√2の円とy=xで切り取られる下半分の
領域である。
V=∫∫f(x)dxdy
=∫∫(x^2+y^2)dxdy
極座標変換をする
r=√2
x=rcosθ
y=rsinθ
|J|=r
dxdy=rdrdθ
変換後の積分領域
r=√2
-3π/4≦θ≦π/4
はグラフ図より明らかです。
V=∫∫(r^2)rdrdθ
=∫∫(r^3)drdθ
=∫dθ∫(1/4)(r^4)[r=0、r=√2]
=∫[-3π/4、π/4]・1 dθ
=π
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#3はミスしました。
無視してください。
再度訂正して掲載します。
問題1
f(x)=x^2+y^2のとき、積分領域D={(x,y):1≦x^2+y^2≦2、0≦y≦x}
とき、
次の二重積分を極座標変換で求めよ。
-----------------------------------
積分領域は半径√2の円とy=xで切り取られる下半分の
領域である。
V=∫∫f(x)dxdy
=∫∫(x^2+y^2)dxdy
極座標変換をする
1≦r≦√2
x=rcosθ
y=rsinθ
|J|=r
dxdy=rdrdθ
変換後の積分領域
1≦r≦√2
-3π/4≦θ≦π/4
はグラフ図より明らかです。
V=∫∫(r^2)rdrdθ
=∫∫(r^3)drdθ
=∫dθ∫(1/4)(r^4)[r=1、r=√2]
=∫[-3π/4、π/4]・(3/4) dθ
=(3/4)π
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 重積分の積分領域について D={(x,y)∈R^2 | 0≦y≦x≦∞} で表される領域で、∫[0→ 3 2023/05/05 23:33
- 数学 大変基本的な質問過ぎて恐縮なのですが教えてください。高校数学の微積分の勉強をするなかで、度々耳にする 5 2022/03/31 14:56
- 統計学 連続型の確率変数について 6 2023/08/25 08:44
- 数学 広義積分 3 2022/12/07 12:29
- 数学 積分 ∫dx/(x^2+a^2) を変換変数x=atan(u) を用いて積分するとき、どうなるのか教 2 2023/04/12 16:09
- 物理学 座標変換に関して質問です。参考書に 「力は一般に時間と場所によって異なるから力f(ベクトル)はx,y 3 2022/07/03 20:24
- 数学 f(x,y)=-2y/(x^2+y^2) という関数を不定積分すると、 ∫ -(2y)/(x^2 + 2 2023/06/12 20:25
- 数学 t=tan(x/2)の置換積分について質問です。写真の問題では、(1)でt=tan(x/2)として、 6 2022/11/21 22:59
- 数学 第4問 座標平面上に3点 A(1, 1),B(1, 5), C(7, 3) を頂点とするABCがある 2 2022/10/01 14:53
- 数学 フーリエ変換2πから2Lへの拡張、途中式 2 2023/05/21 23:31
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
e^(x^2)の積分に関して
-
積分の数式を声に出して読むと...
-
0の積分
-
exp(ikx)の積分
-
e^(-x^2)の積分
-
有限までのガウス積分
-
e^(ax)の微分と積分
-
定積分・不定積分の式の読み方
-
面積分の表記について
-
(x^3/√(x^2+1))の不定積分
-
積分においてxはtに無関係だか...
-
高校の数学で積分できない関数
-
次の積分を計算しなさい.積分記...
-
1/1+tanxの積分
-
対流有効位置エネルギー(CA...
-
置換積分と部分積分の使い分け...
-
エクセルで不定積分をやる方法
-
可積分だが二乗可積分じゃない...
-
写真の問題で1/1-yの積分と1/1-...
-
三角関数の変換で納得いかない...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
e^(x^2)の積分に関して
-
積分の数式を声に出して読むと...
-
e^(-x^2)の積分
-
0の積分
-
積分の問題なのですが、途中か...
-
積分の問題でどの部分を置換す...
-
(x^3/√(x^2+1))の不定積分
-
置換積分と部分積分の使い分け...
-
積分の問題ですが、どこで間違...
-
高校の数学で積分できない関数
-
数学IIの積分の面積の公式につ...
-
e^(ax)の微分と積分
-
exp(ikx)の積分
-
積分においてxはtに無関係だか...
-
インテグラル∫とdxについて
-
積分計算のdtとdxの違いがわか...
-
積分の問題
-
積分のパソコン上のの表し方...
-
【数学】積分の音符みたいなマ...
-
楕円の円周をはかりたいのです...
おすすめ情報