円錐台

初めまして。
今回質問させていただくのは、以前にも出ていたのですが円錐台の展開図の件についてです。
今回書きたい円錐台なのですが、上面はΦ50、底面はΦ100、高さ100なのですが、上面の円の中心と底面の円の中心が側面からみると20ずれているのです。っというのも、側面から見たら下円の端から30ずれたところに上面の円の端があるのです。
こういう円錐台の展開図の書き方をお教えください。
よろしくお願いいたします。

No.5 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/03/15 06:57

追記とお詫び：

「ルジャンドル標準形の練習」と書いてしまったが、
No.4 の dθ/du を、ヤコビの sn, cn を使って表示しようという
方針は上手くない。双曲線関数を sin, cos で表示するような
虚数係数のからんだゴタゴタが発生してしまう。
u = (1.4 w + 1) / (1 + 1.4) で変数変換して、
ワイエルシュトラス流に処理するのが良い。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ただ、私には少し難しいです…
頑張って理解できるようになります!
本当にありがとうございました。

お礼日時：2009/03/24 12:29

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/03/12 21:41

上面と下面の円の展開図は、流石に簡単なので、

側面の展開図だけ 考察してみる。

適当に縮尺して座標系を置くと、問題の立体の側面は、
底円 x^2 + y^2 = 1 かつ z = 0、
頂点 (x, y, z) = (0.4, 0, 1) の斜円錐で表される。

底円上の点 (cosφ, sinφ, 0) と頂点を結ぶ母線の長さ r は、
r^2 = (0.4 - cosφ)^2 + (sinφ)^2 + 1 である。　…(1)

底円が展開図上に描く曲線の弧長が Φ であるから、
この曲線の極座標表示を (r,θ) と置くと、線素の公式
(dφ/dθ)^2 = r^2 + (dr/dθ)^2 が成り立つ。 …(2)

(1) を使って (2) から r を消去すると、
(dθ/dφ)^2 = (1 + u^2) / (0.16 + 2 u)^2,
u = 1 - 0.4 cosφ と書ける。

更に整理して、
dθ/du = { 1/ (0.16 + 2 u) } √{ (1 + u^2) / (0.16 - (1-u)^2) }。　…(3)
この式を積分すると、θ が u の ある楕円積分で表される。
それを θ = f(u) と置けば、
(r,θ) を直交座標に写して、底円の展開図は、
x = √(2.16 - 0.8 cosφ)・cos f(1 - 0.4 cosφ),
y = √(2.16 - 0.8 cosφ)・sin f(1 - 0.4 cosφ)
と媒介変数表示される。 わりと複雑な曲線で、作図は現実的でない。
パソコンにでも描かせるしか…。

(3) を積分して f(u) を具体的に求めるのは、
ルジャンドル標準形の計算練習だが、ちょっと辟易する。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/03/11 23:26

#1です。

早とちりしました。
A#1は上底の円の中心が下底の円の中心の真上にある場合でした。
そのため、質問の内容の展開図とは、側面の展開図だけ一致しませんので、
側面の展開図のA#1の内容から削除願います。
側面図は考え直しますので少し時間を下さい。

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/03/11 22:50

側面、扇型じゃないし。

http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture …
↑の図２

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/03/11 22:01

上底の円板：半径25の円

下底の円板：半径50の円
円錐台側面の扇形：中心角360/√5（度）≒160.997(度)≒161.0(度)
扇形の内側円弧半径=25√5≒55.90
扇形の外側円弧半径=50√5≒111.80
扇型両横の長さ=25√5≒55.90
となります。
糊しろは、必要なら、上記の展開図の外側に適当に作って下さい。
透明ビニールテープ等でとめるなら糊代の代わりに境目に多少の折り曲げ部分を作っておくと境目に隙間が出来なくて仕上がりがきれいに出来ます。