y軸周りを回転させた体積

x^4+y^2=x^2という曲線があります。レムニスケートのような蝶ネクタイ型です。
最大は（±1/√2，1/2) 最小は（±1/√2，-1/2)です。

この曲線をｙ軸周りに回転させてできる体積を求める問題があるのですが・・・
バームクーヘンのように円筒をあつめる方法がありますよね？
例が悪いかな？式でいうと　∫２πｘｙ dx っていう感じなのですが。
この問題はこの方法で解くことできますか？答えが一緒にならないのです。

もうひとつの普通のやり方でいくと
ｘ^2＝{1±(√1-4ｙ^2)}/2　＋のほうをX　－のほうをχとあらわすと
[-1/2,1/2]で(5)＝2π∫（X－χ）dy・・・・・答え　π^2／４
ってやっていくほうはわかっていますので。

どうぞよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： samugari 回答日時： 2003/02/26 13:18

ごめんなさい。

”最大は…最小は…です”をみて、積分区間と思ってしまいました。それと確かに2倍です。
まず、図形の対称性を利用して、第一象現の部分を回転して得られる立体の体積の2倍が求める体積になります。
次に、この部分の図形の方程式は、Ｙが０以上であることより、{1/4-(X^2-1/2)^2}^(1/2) です。これを　∫２πｘｙ dx に当てはめればよいのです。もちろん積分区間は、0から1です。
この積分では、
　　　X^2-1/2=(1/2)SINθ 　　（-π/2≦θ≦π/2）　　(1)　　と置換します。
積分区間は、　0≦x≦1から、-π/2≦θ≦π/2　に変わります。
(1)の両辺をθで微分します。すると、
　　　2xdx/dθ=(1/2)cosθ 　　　　　　が得られます。
ここで、
　　　xdx　　(2)　　　　　　と変形しておきます。
次に、　{1/4-(X^2-1/2)^2}^(1/2)　に(1)を代入すると、
　　　｜(1/2)cosθ ｜
-π/2≦θ≦π/2　より絶対値をはずすと、
　　　{1/4-(X^2-1/2)^2}^(1/2)＝(1/2)cosθ
これらのことより求める体積は、
　　　V=2∫２πｘｙdx　　　　　　　　　積分区間は、　0≦x≦1　
　　　 =2∫２πｘ{1/4-(X^2-1/2)^2}^(1/2)dx
　 =2∫２π{1/4-(X^2-1/2)^2}^(1/2)ｘdx 最後のxdxのところに(2)を代入
　　　=2∫２π(1/2)cosθ(1/4)cosθdθ
　　　=(1/2)π∫(cosθ)^2dθ 積分区間は、-π/2≦θ≦π/2
(cosθ)^2 は、偶関数なので
　　　=π∫(cosθ)^2dθ 積分区間は、0≦θ≦π/2
この後は半角の公式を用いて計算すれば、今度こそＯＫのはず。

この回答へのお礼

細かいところまで詳細に説明・解説していただき本当にありがとうございました。

おかげで少しレベルアップできました☆

ところで、最後の半角の公式ではなくて倍角の公式かな？

お礼日時：2003/02/26 19:02

No.1 回答者： samugari 回答日時： 2003/02/24 22:14

まず、図形の対称性を利用して、第一象現の部分を回転して得られる立体の体積の4倍が求める体積になります。

次に、この部分の図形の方程式は、Ｙが０以上であることより、{1/4-(X^2-1/2)^2}^(1/2) です。これを　∫２πｘｙ dx に当てはめればよいのです。もちろん積分区間は、0から1/√2です。
この積分では、X^2-1/2=(1/2)SINθ と置換すれば、積分区間　-π/2から0となって、全体の体積はπ^2／４ となります。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。

積分区間は[0 ,1/√2]？
この式はｙ＝０となるのはｘ＝０、±１のときですが、積分区間は[0，1]ではないのでしょうか。

あと体積は4倍ではなくて2倍ではないでしょうか？

もうひとつ追加で、 X^2-1/2=(1/2)SINθからdx/dθはどうやって求めるのですか？

お礼日時：2003/02/25 17:21