偏微分方程式が解けません...

δY/δX＝AY＋Blog(CX)

が出来ません...
分かる人ヨロシクお願いします！

それか、
exp(x)・logx
の不定積分が分かる方ご指導ヨロシクお願いします！

No.3 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/03/25 22:44

「偏」微分方程式じゃないけれど…

exp(x)・log(x) の不定積分を訊いているということは、
実は、ちゃんと出来てるじゃないですか。
それでいいんですよ。

dY/dX = AY + B log(CX) の両辺に exp(-AX) を掛けて整理すると、
(d/dX) { exp(-AX)・Y } = exp(-AX)・B { log(-AX) + log(-C/A) }
だから、積分して
exp(-AX)・Y = B { ∫ exp(-AX)・log(-AX) dX + log(-C/A) ∫ exp(-AX) dX }
変形整理して
Y = exp(-z)・(-B/A) { ∫ exp(z)・log(z) dz + log(-C/A)・exp(z) }
ただし、z = -AX。
線型常微分方程式の定石どおりです。

後は、質問にあるとおり、
∫ exp(z)・log(z) dz を求めれば終わりですね。
しかし、この積分は、No.1 に説明されているように、
初等関数の組み合わせでは表示できません。
指数積分でも使って書き下すしか…

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/03/25 00:14

>δY/δX＝AY＋Blog(CX)

単なる微分方程式なので
Y'-AY=B*log(C*X)
です。
一階微分方程式なので解けるでしょう。
解答は質問者が作るもので自分で調べて分かる箇所の解答を書いて、分からない箇所だけ質問するようにして下さい。その質問に回答者がアドバイスしたり
または解答の間違い箇所をチェックします。

>exp(x)・logx
積分は初等関数だけでは表せません（解析的に積分できない）。

大学レベルですが、特殊関数（超越関数）の指数積分関数Ei(x)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0% …
を使えば
∫exp(x)*log(x)dx=exp(x)*log(x)-Ei(x)+C
となります。

No.1 回答者： nordsee271 回答日時： 2009/03/24 23:23

δY/δX＝AY＋Blog(CX)

は偏微分方程式ではありません。

部分積分を用いて
∫exp(x)・logxdx=exp(x)・logx-∫exp(x)・(1/x)dx
右辺の∫exp(x)・(1/x)dxは積分指数関数と呼ばれ初等関数では表せないことが分かっています。