任意の正の数a,bについて
ab≦(a^p/p)+(b^q/q)
(但し(1/p)+(1/q)=1)
という『ヤングの不等式』を利用して次の『ヘルダーの不等式』と『ミンコフスキーの不等式』を示したいのですが、よくわからずに困っています….
『ヘルダーの不等式』
{(Σ|a_i|^p)^(1/p)}{(Σ|b_i|^q)^(1/q)}≧|Σa_ib_i|
(但し(1/p)+(1/q)=1)
(Σはi=1~n)
『ミンコフスキーの不等式』
(Σ|a_i+b_i|^p)^(1/p)
≦(Σ|a_i|^p)^(1/p)+(Σ|b_i|^p)^(1/p)
(但しp≧1)
どなたか回答よろしくお願い致しますm(__)m
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ヤングの不等式を利用して良いのであれば・・・
(取り敢えずヘルダーの不等式のみ回答)
{A[k]}≧0,{B[k]}≧0なる数列と考えて
Σ(k=1~n)(A[k])^p=1
Σ(k=1~n)(B[k])^q=1
とする。
ヤングの不等式
ab≦(a^p/p)+(b^q/q)
のaにA[k] , bにB[k]を入れると
A[k]・B[k]≦{(A[k])^p/p}+{(B[k])^q/q}・・・(0)
(1)をkについて和を取れば
Σ(k=1~n)A[k]・B[k]≦(1/p)Σ(k=1~n)(A[k])^p+(1/q)Σ(k=1~n)(B[k])^q
=1/p+1/q
=1 ・・・・・・・・・・(1)
A[k]=a[k]/(Σ(k=1~n)(a[k])^p)^1/p {a[k]}≧0 ・・・(2)
B[k]=b[k]/(Σ(k=1~n)(b[k])^q)^1/q {b[k]}≧0 ・・・(3)
とおけば
Σ(k=1~n)(A[k])^p = 1
Σ(k=1~n)(B[k])^q = 1
であるから(2)(3)辺々掛け合わせて和を取れば
Σ(k=1~n)A[k]B[k] = Σ(k=1~n){a[k]/(Σ(k=1~n)(a[k])^p)^1/p}^p{b[k]/(Σ(k=1~n)(b[k])^q)^1/q}^q≦1
が出る。
故に
Σ(k=1~n)a[k]b[k]≦{Σ(k=1~n)(a[k])^p)}^1/p・{Σ(k=1~n)(b[k])^q)}^1/q
この回答への補足
回答ありがとうございます!
とても参考になりました。質問文の式と同じ形になるようにしたかったのもあり、すこし自分の言葉で書き直して見たのですが、こうゆうことでいいのでしょうか!?
(証)
(1/p)+(1/q)=1なるp,qと数列a[k],b[k]を用いて
A[k]
=|a[k]|/(Σ|a[k]|^p)^(1/p)
B[k]
=|b[k]|/(Σ|b[k]|^q)^(1/q)
とすれば
ΣA[k]=ΣB[k]=1となる…(1)
※ただしここでは(Σ|a[k]|^p)^(1/p)と(Σ|b[k]|^q)^(1/q)はともに0でない、つまりa[k]とb[k]はともに恒等的に0でない数列する。
ところで今、A[k],B[k]の決め方からA[k],B[k]>0であるからヤングの不等式より
A[k]B[k]≦A[k]/p+B[k]/qとなる。(∵1/p+1/q=1)
この不等式の両辺をkについて足し会わせて
ΣA[k]B[k]
≦ΣA[k]/p+ΣB[k]/q
=1/p+1/q(∵(1)より)
=1(∵pqの決め方より)
つまり
ΣA[k]B[k]≦1
ここで、A[k]B[k]の定義からヘルダーの不等式を得る
一方、(Σ|a[k]^p|)^(1/p)と(Σ|b[k]^q|)^(1/q)がともに0、つまりa[k]とb[k]はともに恒等的に0である数列とするときは、ヘルダーの不等式は明らかに成立。
以上より、ヘルダーの不等式は任意の数列a[k]b[k]について成り立つ…。
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