合成写像に関する問題 - 数学 - 教えて！goo

＞No.2さんの書かれたような内包的記法を用いた証明でも、そのような心配は不要と言えますよね。
そうですね。
証明もNo.2さんの方法が簡潔でいいんじゃないでしょうか。

通報する

＞f(a)=b∈f(Ｐ)だからといって
＞a∈Ｐだとは言えないですよね・・。
確かにそうですが、私はf(a)＝bをみたすaが必ずa∈Ｐだと言っているわけではありません。
p31の(4.5)式にあるとおりf^(-1)(f(P))⊃Pなのでf(a)＝bをみたしてPに属さないaがあっても
別に問題ありません。No.2さんへの補足の中の例でいうとq∈f(P)に対し3∈Aがそうです。

私が主張しているのは『∃』a∈Pであることに注意してください。つまり
”f(a)＝b∈f(Ｐ)ならば『少なくとも一つ』f(a)＝bをみたすa∈Pが存在する”
ということです。No.2さんへの補足の中の例でいうとq∈f(P)に対し2∈Ｐがそうです。
f(3)＝qをみたしPに属さない3∈Aの存在は証明の中で全く出てきません。

この例で具体的に証明すると
g(f(Ｐ))＝{m,n}なので
m∈g(f(Ｐ))→∃p∈f(Ｐ) st g(p)＝m → ∃1∈P st f(1)＝p → ∃1∈P st g(f(1))＝m
→∃1∈P st (g・f)(1)＝m → m∈(g・f)(Ｐ)

n∈g(f(Ｐ))→∃q∈f(Ｐ) st g(q)＝n → ∃2∈P st f(2)＝q → ∃2∈P st g(f(2))＝n
→∃2∈P st (g・f)(2)＝n → n∈(g・f)(Ｐ)

∴g(f(Ｐ))⊂(g・f)(Ｐ)

通報する

まず[質問２]からですが(a)の証明の前半は問題ないと思います。
逆のg(f(Ｐ))⊂(g・f)(Ｐ)の証明ですが(※)の所で
＞∃a∈Ａ　s.t. f(a)＝b
となってますが、その前の行でb∈f(Ｐ)と言ってるので正しくは
∃a∈P st f(a)＝b　(※※)
です。(※※)までを要約すると
x∈g(f(Ｐ))→∃a∈P st x＝g(f(a))
ですが、p34の一番下に書いてあるように合成写像があれば定義から必ず(g・f)(a)＝g(f(a))が成り立つので
x∈g(f(Ｐ))→∃a∈P st x＝g(f(a))→∃a∈P st x＝(g・f)(a)→x∈(g・f)(Ｐ)
∴g(f(Ｐ))⊂(g・f)(Ｐ)
が言えます。

次に[質問１]ですが、この問題では写像f,gについての性質が書かれてないのでf,gは
逆写像を持つとは限りません。だから(b)の問題の中の(g・f)^(-1)やf^(-1)やg^(-1)は
逆写像ではなくてp30に書かれている原像の意味にとって証明する必要があると思います。
(逆写像があるときにも逆写像による像と原像は一致するので原像についてだけ証明しておけばOKです)

まず{(g・f)^(-1)}(R)⊂f^(-1)(g^(-1)(R))の証明から。
a∈{(g・f)^(-1)}(R)→∃x∈R st (g・f)(a)＝x→∃x∈R st g(f(a))＝x
→f(a)∈g^(-1)(R)→a∈f^(-1)(g^(-1)(R))
∴{(g・f)^(-1)}(R)⊂f^(-1)(g^(-1)(R))

次にf^(-1)(g^(-1)(R))⊂{(g・f)^(-1)}(R)の証明です。
a∈f^(-1)(g^(-1)(R))→∃b∈g^(-1)(R) st f(a)＝b→∃x∈R st x＝g(b)＝g(f(a))
→∃x∈R st x＝(g・f)(a)→a∈{(g・f)^(-1)}(R)
∴f^(-1)(g^(-1)(R))⊂{(g・f)^(-1)}(R)

通報する

正直全体的に冗長だと思う。……が、まぁ大事だよね、そういうのって。

[1]
"xをＣの任意の元とする"と解答に書いてるけど、
"Ｃの任意の部分集合Ｒに対し"て示すんじゃないの？
まぁ、多分分かってると思うから、大したことじゃないけど。
実際間違ってるって言うほどのことではないわな。
# てか、そのあと問題文に書いてある「P」は「R」の書き間違いかな？

[2]
難しく考えすぎじゃない？単純に

f(P)={f(a)|a∈P}
g(f(P))={g(b)|b∈f(P)}={g(f(a))|a∈P} …☆
(g・f)(P)={(g・f)(a)|a∈P} …★
g(f(a))=(g・f)(a)だから、☆=★
∴g(f(P))=(g・f)(P)

でいいと思うんだが。（最初に冗長だと言ったのはそういう意味で。）

(※)以降続けるなら、
f(a)=b∈f(P)だから、∃a'∈P s.t. f(a)=f(a')
x
=g(b)
=g(f(a))
=g(f(a'))
=(g・f)(a') ∈(g・f)(P)
∴g(f(P))⊂(g・f)(P)

結局話を"元"に落とし込んで、g(f(a))=(g・f)(a)に話を持っていく。
んだったら最初から☆,★のようにすればラクなわけで。

この辺は正直教科書に載ってる「定義」を使って適当に書き下せば、
2~3行どころか1行足らずで証明が終わったりする。
教科書の練習問題は、そういう「定義」を確認してもらうために書いてある場合が多いから、
難しく考えすぎない方がいいと思うよ。

通報する

この手の話のときには、前提や定義をきちんと明示することが大事です。
合成写像の定義（(g・f)の定義）、f^(-1)の定義をおねがいします。

通報する