微分の定義っておかしくないですか？

・疑問1
計算最後に+hとついた部分は切り捨てられます。
例え+ahで、aが巨大な数だったとしてもです。あまりにも適当すぎじゃないですか？

・疑問2
f(x+h)-f(x)/h
何でx+hなの？時間を足すんじゃなくて、xの時間からhの時間までのx変化量を足さなくちゃいけないんじゃないの？
だから f(x+h)じゃなくて、f(x+(xの時間からhの時間までのxの変化量)) というのが正しいんじゃないの？

回答お願いします。

No.4 回答者： kuma_1234 回答日時： 2009/04/19 20:36

おかしいもおかしくないも、そのように定義したのですから、正しいのでしょう。

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疑問1
計算最後に+hとついた部分は切り捨てられます。
例え+ahで、aが巨大な数だったとしてもです。あまりにも適当すぎじゃないですか？
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切り捨てませんよね、+h -> 0 にするだけです。

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・疑問2
f(x+h)-f(x)/h
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ここがまさに定義の部分で、微分可能な関数は細かく見ていくと直線として近似出来るというのが前提にあると思います。例えば、y=x^2で、xを0.1ステップで大きくしていき、yを求めた後プロットし、直線で結んでいくと、２次関数ぽっく見えると思います。
(x,y)=---,(0,0),(0.1,0.01),(0.2,0.04),---を直線で結ぶという意味です。これを、xを0.01ステップでおこなうと、さらに２次関数に近づきます。

つまり、微分可能な関数は、細かな直線の集まりと近似することができ、それが細かければ細かいほどもとの関数に近づきます。直線を微分すると定数になり、上式で求まりますよね？
細かく見ていくというのが、「+h -> 0」です。

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/04/19 20:14

>例え+ahで、aが巨大な数だったとしてもです。

あまりにも適当すぎじゃないですか？

極限ってことをわかってないということだけ．
どんなにaが大きくたって，
hは0にどんどん近づくんだから，結果としてahは0に近づくってだけ．
極限とは「その近づく先」のことをいう
aに対して，h=e/a とかおいて，e->0とすれば理解できるのかな？

>だから f(x+h)じゃなくて、f(x+(xの時間からhの時間までのxの変化量)) というのが正しいんじゃないの？

これは文字の意味をわかってないということで
意味がちがう．
「xからx+h」のときの変化量を考えるのだから
(f(x+h)-f(x))/((x+h)-x)
ということ．文字が何を表しているのか
図を書けばすぐ理解できる

ちなみに「あまりに適当」ということだけども
それはある意味では正解．
関数の変化そのものをおいかけると煩雑だから
適当なところで近似するってのが微分だから

No.2 回答者： proto 回答日時： 2009/04/19 19:23

アルキメデスの公理というものがあります。

どんな正の数a,bに対しても
　　an > b
となるようなnが存在するというものです。
感覚的に説明すると、aがすごく小さくてbがすごく大きくても、それに負けないくらい大きなnを持ってくればan>bになるよということなんですけど。
これは"デデキントの切断"という方法で立派に証明できるのです。

さて、アルキメデスの公理を少し変形すると
　　a > b*(1/n)
となりますね。
ここでn→∞のとき(1/n)はすごく小さくなるので、h=1/nと置き換えましょう。
　　a > bh
となりますね。
さて、いまaがものすごく小さくてもbがものすごく大きくても、アルキメデスの公理からnを大きくしていけばa>b*(1/n)となるようなnがあって。
言い換えると、hを小さくしていけばa>bhとなるようなhがありますね。
たとえどんなにaが小さくてもです。(a=0ではいけませんが)aが限りなく0に近いとてもちいさな数であっても成り立ちます。

またまた難しい話になりますが、大学の1年生が習うε-δ論法を持ち出せば、
　　a > bh
となるようなhが存在すると言うことは、h→0の極限を取ったとき、bhが0に収束するということなんです。

結局、デデキントの切断とアルキメデスの公理とε-δ論法を習えばbがどんなに大きくても、bhが0に収束することが証明できます。
切り捨ててるわけではありません、0に収束するので式に現れなくなるだけです。適当でもありません。


後半については、
微分の定義式ではxをx+hまで変化させた時を考えます。xからx+hまでのx変化量は
　　(x+h) - x = h
ですね。
だからxからx+hまでのx変化量であるhを足して、f(x+h)としますね。

No.1 回答者： Quattro99 回答日時： 2009/04/19 18:55

時間ってなんのことでしょうか？

・aが巨大なのではなく、hが限りなく0に近づいた時を考えているのではないでしょうか。

・xの変化量をhとおいているのではありませんか？
xがx+hに変化したとき、f(x)はf(x+h)に変化します。このときの変化の割合は、
{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}です。分母はxが消えてhとなり、その式になります。