No.6ベストアンサー
- 回答日時:
(1) x^3-3x^2+9x-27=(x-3)*(x^2+9)であるから、条件より、x^4-1=P(x)*(x-3)*(x^2+9)+80.
つまり、x^4-81=(x-3)*(x+3)*(x^2+9)=P(x)*(x-3)*(x^2+9)であるから、P(x)=x+3
(2) x^2-3x+2=(x-2)*(x-1)であり、Q(x)をx-1で割ったときの商をA(x)、x-2で割った時の商をB(x)、(x-2)*(x-1)で割った時のC(x)とする。求める余りのxの次数は高々1次であるから、ax+bとする。
条件より、Q(x)=(x-1)*A(x)=(x-2)*B(x)+1. ‥‥(1)
又、Q(x)=(x-1)*(x-2)*C(x)+(ax+b) ‥‥(2)
そこで、(1)より Q(1)=1、Q(2)=1で、(2)において、Q(1)=a+b、Q(2)=2a+bであるから、a+b=1、2a+b=1。
結局、それらを連立してa、bについて解くだけ。
回答ありがとうございます。
(1)とてもよく、わかりました。
(2)なぜ、「求める余りのxの次数は高々1次であるから、ax+bとする。」こうなるのですか。
No.7
- 回答日時:
書き込みミス。
我ながら、困ったもんだ。w(誤)条件より、Q(x)=(x-1)*A(x)=(x-2)*B(x)+1. ‥‥(1)
(正)条件より、Q(x)=(x-1)*A(x)+1=(x-2)*B(x)+1. ‥‥(1)
No.3
- 回答日時:
(1)そうだなぁ・・・回答NO.1と回答NO.2の方法が問題自体が解いてほしいと思ってる方法なんだろうけど・・・。
でもこれ、剰余の定理使うんでしょ?だとしたら式変形から求めるのは学習内容とは違うような気がする・・・。
そこで、剰余の定理を使う方向で以下のように解いてみた。まぁ数字が小さいからできたような解答だけど、よかったら参考にしてみてほしい。
あ、でも、剰余の定理がよくわかってないならNO.1とNO.2の解き方をやるように。そうじゃないと逆にケガをするよ。
【解き方】
P(x)=x-αとおくと、問題文と剰余の定理から α^4-1=80 という式が導かれる。
これを変形すると、α^4=81
81を素因数分解すると、81=3^4であることがわかる。つまり、α^4=3^4である。
よって、α=3だから求めるP(x)は「x-3」
ちなみになぜP(x)=x-αとおくのかというと、割られる式が4次式で商が3次式、つまり、割る式は1次式になってないとおかしいから。
(2)【解き方】
Q(x)をx-1で割った余りは剰余の定理からQ(1)=1 ・・・【1】
Q(x)をx-2で割った余りは剰余の定理からQ(2)=1 ・・・【2】
Q(x)をx^2-3x+2=(x-1)(x-2)で割ったときの商をR(x)とすると、
Q(x)=(x-1)(x-2)R(x)+(ax+b) という式が書ける。
どうして余りが1次式なのかはあとで説明するとして・・・この式にx=1とx=2をそれぞれ代入すると、
Q(1)=a+b ・・・【3】
Q(2)=2a+b ・・・【4】
よって、【1】=【3】、【2】=【4】で連立方程式をつくりそれを解くと、
a=0、b=1
したがって、Q(x)=(x-1)(x-2)R(x)+1 であるから余りは「1」
ちなみに余りがなぜ1次式になるのかというと、Q(x)を2次式で割ったとき、最初の余りが1次式になるから。
最後まで割ったときの余りは最初の余りが文字式だから当然最後の余りは文字式じゃないとおかしいよね。
以上、これでわからなかったらあとは学校で聞いてください。
くわしい説明をありがとうございました。
(2)の説明で、「余りがなぜ1次式になるのかというと、Q(x)を2次式で割ったとき、最初の余りが1次式になるから。最後まで割ったときの余りは最初の余りが文字式だから当然最後の余りは文字式じゃないとおかしい。」ここが、理解できないのですが、R(X)は必ず1次式、Qは3次式になるのですか?
No.1
- 回答日時:
>X^4-1を 整式P(X)で割ったら、商が X^3-3X^2+9X-27で、余りが80であった
→X^4-1=P(X)*(X^3-3X^2+9X-27)+80
です。あとはご自分で
(2)X^2-3X+2=(X-1)(X-2)
ですね
求める余りをa(X-1)+bと表します
するとQ(X)=(X-1)(X-2)R(X)+a(X-1)+b
でQ(X)を(X-1)で割った余りが1だから…
後はご自分でお考え下さい(もう少しシンプルな方法もありますが)
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