Z(t)=Σ〔i=1~t〕ε(i)
ε(i) は 1/2の確率で 1 か -1 の値をとります。
また、ε(i)とε(j) (i≠j) は互いに独立です。
このとき、
E[exp( aZ(t) )] = Π〔i=1~t〕E[exp( aε(i) )]
= Π〔i=1~t〕{exp(a)+exp(-a)}/2
= Π〔i=1~t〕cosh(a)
= cosh(a)^t
となるのは分かりますが、
E[ exp( aZ(T) ) | Z(t)=k ] (条件付期待値) ( T > t のとき)
はどのように計算すればよいのでしょうか?
答えは exp(ak)*cosh(a)^(T-t)
となるようですが、導出できません。
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
E[ exp( aZ(T) ) | Z(t)=k ]
= E[ exp( aΣ〔i=1~T〕ε(i) ) | Z(t)=k ]
= E[ exp( aΣ〔i=1~t〕ε(i) + aΣ〔i=t+1~T〕ε(i) ) | Z(t)=k ]
= E[ exp( ak + aΣ〔i=t+1~T〕ε(i) ) | Z(t)=k ]
= exp(ak) * E[ exp( aΣ〔i=t+1~T〕ε(i) ) | Z(t)=k ]
ここまでくればわかるでしょうか?
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