数学的帰納法について

数学的帰納法についての問題で、ちょっと悩んでいますので、
どなたかお教えください＞＜；


とある、国立医学科の問題です。


「
a,bを負でない整数とし、a>bとする。
a1=a, a2=b, a(n+2)=la(n+1)-anl (n=1,2,3・・・)によって定義される
数列{an}について、次の問いに答えよ。

q,rを負でない整数として、a=(2q+1)b+r,r<bとする。
このとき、初めてan=rとなるnを求めよ。
」

との問題で回答が以下のようにようなっています。

「
m=1,2,3・・・,q+1　に対して
　a(3m-2) = {2q+1-2(m-1)}b+r
　a(3m-1) = b
　a(3m) = {2q-2(m-1)}b+r
が成り立つことを数学的帰納法により示す。

n=1の時、、、、と以下解説が続くのですが、
ここで質問です＞＜；

何で、最初の一行が
「m=1,2,3・・・,q+1」となっているのでしょうか？
「m=1,2,3・・・」ではダメなんでしょうか？

どの参考書、問題集を見ても、
「m=1,2,3・・・」となっているんですが、こうしたらダメなんでしょうか？
赤本の解説以外に、東進の解説も確認したら、全く同じようになっていました。

また、仮定条件の時には
「m=k(k=1,2,3・・・q)のとき、成立すると仮定する」と書いてありますが、
「m=k(k=1,2,3・・・)」じゃダメなんでしょうか？

何で、
「q+1」や「q」までとなっているのでしょう？
しかも、「q」は「a=(2q+1)b+r」の中で使用されている文字なのに、、、、、
さっぱり分かりません。(/_<。)


どなたか教えてください(>_<。)HelpMe!!

No.1 ベストアンサー 回答者： cfv21 回答日時： 2009/05/07 01:32

それは、答が、n＝3(q＋1)だからです。

つまり、m≧q＋2になってしまうと、数列a(n)の形が変わってしまうからです。
この問題は、数列の項の形が変わってしまう前のところがどこか、と、聞いているのです。

例えば、q＝5，r＝7，b＝5，a＝(2×5＋1)×5＋7＝62
くらいで実験をしてみてください。
a(1)＝a＝62，a(2)＝b＝5，a(3)＝57，a(4)＝52，a(5)＝5，
以後、47，42，5，37，32，5，27，22，5，17，12，5，となり、
a(18)＝7となります(18＝3×(5＋1))。
この辺までは規則性があるのがわかりますね。
kをk≦q＋1となる自然数として、
a(3k)＝(2(q－k)＋2)b＋r
a(3k＋1)＝(2(q－k)＋1)＋r
a(3k＋2)＝b
という具合になっています。
ところが、それ以降は、
a(19)＝2，a(20)＝5，a(21)＝3，a(22)＝2，
a(23)＝1，a(24)＝1，a(25)＝0，a(26)＝1，
となって、以後は、1，0，1が循環します。

つまり、その解答の作成者は、最初に実験をして、数列の各項がどうなるかを調べ、m≦q＋1では規則性がある、と、予測をつけてから解答を作っているのです。

最初から解答を読んで、どうしてだろう、と、悩む前に、自分の手を動かして実験をしてみるように心がけましょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！　( ^-^)o-o<※ ☆


すっ、すごいです。
とてもよく分かりました＾＾

最初の9つくらいは試してたのですが、
それ以降もずっと続くものだと思い込んでいました＞＜；

このような問題もあるのですね。

勉強になりました・・・・；

アドバイスも有難うございます＾＾


有難うございました♪サンキュッ (v^-^v)♪

お礼日時：2009/05/07 21:59