数学の質問です

1）11の10乗－1が100で割れることを示せ。
2）2222の5555乗が7で割れることを示せ。

No.3 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/05/30 22:16

　＃２です。

　補足を拝見しました。
＞2222の5555乗＋5555の2222乗が7で割れることを示せ。でした

　ANo.2の２）項と同様に、5555^2222　を次のように変形します。

　　5555^2222
　＝(793×7+4)^2222
　＝Σ[n=1→2222] 2222_C_n (794×7)^n 4^(2222-n) +4^2222


　これらのことから、７を法として、次の合同式が得られます。

　　2222^5555 + 5555^2222　≡　3^5555 + 4^2222 (mod 7)


　次に、3^n の余りについて考えます。

n....3^n......3^n (mod 7)
0.....1.......1
1.....3.......3
2.....9.......2
3....27.......6
4....81.......4
5...243.......5
6...729.......1
7..2187.......3

となりますように、3^n (mod 7)　は、周期６で循環します。
　つまり、　3^n ≡ 3^m (mod 7)　　ただし、ｍはｎを６で割った余り　となります。
　従って、 3^5555 の合同式は次のようになります。

　　3^5555 ≡ 3^(6×925＋5)　≡　3^5 ≡ 5 (mod 7)


　同様に、4^2222 についても考えますと、4^n (mod 7)　は周期３で循環しますので、次の合同式が得られます。

　　4^2222 ≡ 4^(3×740＋2) ≡ 4^2 ≡ 2 (mod 7)


　以上のことをまとめると、次のように「2222の5555乗＋5555の2222乗が7で割れること」が示されます。

　　 2222^5555 + 5555^2222
　≡ 3^5555 + 4^2222
　≡ 5 + 2
　≡ ０ (mod 7)

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2009/06/02 21:56

No.4 回答者： zyoi 回答日時： 2009/05/31 01:54

2)2222^5555+5555^2222

≡(317*7+3)^5555 + (793*5+4)^2222
≡3^5555 + 4^2222
≡3^5*3^5550 + 4^2*4^2220
≡3^5*(3^6)^925 + 4^2*(4^6)^370

(フェルマーの小定理：
　
　p^(n-1)≡1(mod n)

　　より

3^6≡4^6≡1 (mod 7)

なので、これを使うと上式は)

≡3^5*1^925 + 4^2*1^370
≡3^5 + 4^2
≡243 + 16
≡259
≡37*7
≡0 (mod 7)

よって

2222^5555+5555^2222

は7で割り切れます。(一応説明しますが、ここで用いている合同式の「a≡b≡c≡… (mod k)」の意味は、a,b,c…はすべて、kで割ったときのあまりが等しいということを示す記号です。)

この回答へのお礼

modはまだ習ってなかったのですが、説明もきちんとして下さり分かりやすかったです。ありがとうございました。

お礼日時：2009/06/02 21:53

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/05/29 23:57

　二項定理を使って考えます。

１）
　　11^10 -1
　＝(10+1)^10 -1
　＝Σ[n=0→10] 10_C_n 10^n -1
　＝Σ[n=2→10] 10_C_n 10^n +10_C_1 10^1 +1 -1
　＝Σ[n=2→10] 10_C_n 10^n +100

　最後の式のΣはｎ≧２だから、１００の倍数。
　従って、最後の式は１００の倍数である。


２）　これは７で割り切れないことを示します。
　　2222^5555
　＝(317×7+3)^5555
　＝Σ[n=1→5555] 5555_C_n (317×7)^n 3^(5555-n) +3^5555

　最後の式のΣは７の倍数だが、素数３の５５５５乗は素数７で割り切れない。
　従って、2222^5555は７で割り切れない。

この回答への補足

すいません問題を間違えてました。
2222の5555乗＋5555の2222乗が7で割れることを示せ。でした

補足日時：2009/05/30 21:10

No.1 回答者： f272 回答日時： 2009/05/29 20:47

(1)

mod 100で考えると
11^1≡11
11^2≡21
11^3≡31
11^4≡41
11^5≡51
11^6≡61
11^7≡71
11^8≡81
11^9≡91
11^10≡1
(2)
2222=2*11*101
だから何乗しても7では割りきれません。

この回答への補足

すいません問題間違えてました
2222の5555乗＋5555の2222乗が7で割れることを示せ。でした

補足日時：2009/05/30 21:13