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(1)sin3x+3sin5x
(2)sin3x-sinx
の基本周期が両方とも2πとありますが、なぜなのか教えてください。
よろしくいお願いします。

A 回答 (4件)

x=0として必要導出を行っているから、


証明の末尾に、毎度の
十分性に関するオマジナイが必要。
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(1)sin3x+3sin5x は計算が面倒そうなんで、(2)sin3x-sinx をやってみる。

但し、方法は同じ。

f(x)=sin3x-sinx の任意の周期の1つをmとすると、任意のxについて、f(x+m)=f(x)が成立する。
特に、x=0の場合でも成立するから、sin3m-sinm=(3倍角の公式で展開して)=(sinm)*{1-2(sinm)^2} =0.
この三角方程式を解くと、nを正の整数として、x=2nπ、x=2nπ+π/4、x=2nπ+13π/4。
従って、基本周期はn=1とすれば良いから、x=2π。

(1)sin3x+3sin5x も計算が煩そうだが、上の方法で出来るはず。
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2πが周期の一つであることは、


x = z + 2π でも代入してみれば判るでしょう。
基本周期であることは、
0 ≦ x ≦ 2π でのグラフを描けば確認できます。
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>(1)sin3x+3sin5x


>(2)sin3x-sinx
>の基本周期が両方とも2πとありますが、なぜ .....

まず、基本から。

・sin(x) の基本周期は 2π。

・ m が整数のとき、sin(mx) の基本周期は 2π/m。

・ sin(mx) sin(nx) の一次結合の基本周期は、m と n の最大公約数を p として、2π/p 。
 
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