組合せ

赤玉2個、白玉2個、青玉2個の計6個の玉を机の上に円形に並べる。
(1)円の中心に関して対称な円順列は何通りあるか？
(2)円順列は何通りあるか？
(1)(2)ともに、手も足も出ません。解く手順だけでも教えて下さい。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2009/06/30 00:17

(2)について説明します。

(1)はその中の1倍モードに相当します。でも、設問としては、とても導入役を果たしているとは言えませんね。難しくしているだけです。
円の中心に関して対称とは回転対称とでもしときましょうか。180度回転したら一致するというやつですね。

円順列は角振動と同じです。
ぐるぐる回るコマの模様のようなものです。
角振動には、
1倍モード（2^0倍：0次モード）,ファンダメンタルとも呼びます。
2倍モード（2^1倍：1次モード）,
4倍モード（2^2倍：2次モード）,
と次数が上がっていく性質があります。
このとき、低次モードの振動は波が倍になっても、区別ができません。

いま、問題文を見ると、
それぞれの成分は2のべき乗個あります。
このとき、最小のべき乗の値2^1倍がこの系の最高倍数になります。
つまり、この問題は2倍モードを考えなければなりません。

a,a,b,b,c,cで考えます。

まず、1倍モードを考えます。
a,b,cの3つの円順列を考えます。
3P3／3です。
abc,acb,bac,bca,cab,cbaの順列のうち、
開始点はどこでもいいので、3で割るのです。
(3-1)! と考えてもいいでしょう。

次に次数を上げ、2倍モードを考えます。
このとき、先の1倍モード、例えばabcが、
2倍になっても、角振動としては区別ができません。
abcabcという並び方は、abcと同じなのです。回転対称です。
したがって、
全体の並べ方である6P6/(2P2・2P2・2P2) から1倍モードを引いた
6P6／(2P2・2P2・2P2)－3P3 とおりの並び方が、
新たに2倍モードで出現する順列です。
これらの開始点はどこでもいいので、6で割ります。

なお、1倍モード,2倍モードは独立なので、全ての場合の数は
足し算で求められます。
4倍,8倍と高次になっても、この考え方で求められます。

また、べき乗ではなく、単純な3倍というときは、
私が示した考え方のように各モードが独立にはなりません。
暇があれば、それも考えてみて下さい。

なお、角振動abcの2倍モードは本来はaabbccです。
これがabcと区別がつかないのですが、
ここでは、円順列として区別がつかないというモードを考えています。

No.3 回答者： noname#94461 回答日時： 2009/06/20 17:43

(1) 中心対称な円順列の場合

赤白青(rwb)の各1個の並びを決めれば、他の各1個の場所は決まってしまいますね。(180deg離れた場所)
それと、右回りで考えて赤の次に何色が来るかで何通りかが決まります。
(rwbとwbr,brwは円順列では同じです)

(2) 円順列の場合
　回転させて重なり合うものは区別出来ませんので、赤先頭のケースのみ数えれば答えが出るはずです。
ただし、rrwwbbと　rwwbbrは回転すると重なり合い区別出来ません。
従ってrrxxxx,rxrxxx,rxxrxxと3種類に分けて数え上げてケース数を出します。
xxxxにはwwbbを任意に並べます。(wwbbの色区別の出来る並べ方は簡単です)

ちなみに2色各2個の場合のケース数は(1)の条件では1種類、
(2)の条件では2種類になります。

以上を考慮して答えを書き込んで見て下さい。
その上で分からない点があれば、さらにこの部分が分からないと問い合わせて下さい。

No.2 回答者： haberi 回答日時： 2009/06/20 09:59

(2)は円じゃなく直線？の順列と答えが同じですね。

No.1 回答者： Quattro99 回答日時： 2009/06/19 22:56

具体的に並べてみると見えてくると思います（特に(1)）。