1÷０は？

私立の中学校に通う中２です。１÷０、すなわち０分の１って整数に直すといくらですか？

塾の先生は、「それは答えがない」といいます。

学校の先生は、こう説明します。
「１分の１は１、０.１分の１は１０、０.０１分の１は１００・・・ というように、分母を限りなく０に近づけていけば、結局０分の１は限りなく大きな数になることがわかる。」

どっちが正しいんですか？ちなみに、これの証明方法も教えてください！

No.17 回答者： cassiopeia 回答日時： 2003/03/29 02:04

数学において割り算とは何かということを考えると少し分かりやすいかもし

れません。
「８個のりんごを２つずつにわけると、何組できますか？」
という問題を考えるときに、
８÷２＝４
という計算式を使いますね。これが割り算の意味です。
これが、１／２個ずつであると、８×２＝１６できますね。
これが、分数の割り算が

８÷（１／２）＝８×２＝１６となる理由です。

これが「０こずつ」であると、答えがありませんよね。したがって答えはないというのが正解です。

しかし、もしあなたが大学で高度な数学を学ぶことがあれば、１÷０を無限大（本来はないのですが）を定義すると、計算する場合便利なことがあり、便宜上、そういう定義をする場合があります。でも、高校までの数学ではそういうことはなく、入試問題として０を割り算するものは出てこないので、いまのうちは「答えがない」と考えて安心してください。

No.16 回答者： ranx 回答日時： 2003/03/28 18:07

「極限」とか「無限大」とか出てきて話がややこしくなっていますので、

中学生にも分かるように説明しましょう。

まず質問です。
最も小さな正の数は何だと思いますか？
0.0001ですか？だけど0.00001はそれより小さいですね。
じゃ0.00001が最も小さな正の数かと言えば、0.000001はさらにそれよりも小さいですね。
どんなに小さな正の数をとっても、必ずそれよりも小さな正の数があります。
ですから、「最も小さな正の数」は存在しません。
では、「正の数」というのはいくらでも小さな値をとれるのでしょうか。
そうではありませんね。ゼロまたはマイナスの値になることはありません。
そうしてみると、ゼロという数は、正の数がこれ以上は小さくなれないギリギリの
ところにある数だということが分かります。
今度は、今見た正の数の逆数を見てみましょう。
0.0001の逆数は10000。
0.00001の逆数は100000。
0.000001の逆数は1000000。
「最も小さな正の数」が存在しなかったように、「最も大きな正の数」も存在しません。
どんなに大きな正の数をとっても、必ずそれよりも大きな正の数があります。
正の数を小さくしていったギリギリのところにゼロという数がありました。
ではその逆数はどうでしょうか。正の数を大きくしていったギリギリのところに
ゼロの逆数があるのでしょうか。
fujimon5515さんの知っている中に、そんな数は無いはずです。
数学者の扱う数の中にはfujimon5515さんの多分知らない数もありますが、それでも
「１÷０」を表す数はありません。これが答えです。

では学校の先生はなぜこんなことを言ったのでしょうか。
もう一度、上の推論を思い返しましょう。
もしも「１÷０」を表す数があったならば、いくらでも大きな値をとれる正の数の
どんな値よりもさらに大きくなるはずです。先生の言ったのはこういう推論です。
その数が何かという結論までは言っていません。結論を言ってしまうならば、
やはり塾の先生の言うように、答えはないのです。

どんなに大きな正の数をとっても、必ずそれよりも大きな正の数がありました。
この性質を「無限大」と言って、∞という記号で表します。よく勘違いをする人が
いるのですが、「無限大」というのは「数」ではありません。「概念」というか
「性質」なのです。

No.15 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/03/28 16:55

わたしは＃１１さんの答について間違っていると言ったつもりはありません。

1/0があると書いているひとに言っているつもりです。

念のため。

No.14 回答者： mayuusa 回答日時： 2003/03/28 14:29

しろうとが、すみません。

たしかに私の書きかたよくないですね。

でも、極限の０の話は、分かるんです。

「結局０分の１は」

ということばづかいが、良くない！

と思うのです。

No.13 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/03/28 12:31

どうも「真の０」と「極限としての０」がごっちゃになっているようです。

しかも極限としての０はプラス０とマイナス０があるのにその区別もついていない。

中学生なら真の０の話でいいと思います。０では割れません！

興味があれば自分で極限について調べるでしょう。
中途半端にやると混乱するだけです。

No.12 回答者： akekou 回答日時： 2003/03/28 12:13

どちらも正しいです。

学校の先生の言う考え方は高校生用の某参考書に載っていましたし、
考え方としては分かりやすくて良いです。
また、塾の先生の言う事も正しい。
学校の先生の言う「限りなく大きな数」は（高校以上では＋∞と言いますが）
"限りなく大きい"のであって、答えの数を「1億」とか「1兆」のように特定する事は
できないので、塾の先生の言う「答えが無い」という表現も正しいです。

No.11の方のように偏った考え方は正しくありません。

No.11 回答者： mayuusa 回答日時： 2003/03/28 11:42

うーん、本当にそう言ったのであれば、

常識を疑うような学校の先生で、かなしくなります。嘘を教えるな！と。 (▼、▼メ)

０で割るということは出来ない、ということで理解を統一しないと数学は今のところ成り立たない。「理解が統一」できるのが数学の数学たるゆえんなのに、、、、と思います。

答えは一つだけど、やりかたがいくらでもあるのが数学です。逆に言うと、「答えが何個もある場合は、それは正しくないんだね、正しくないんだというそういう解釈に決めよう」、とするのが数学の世界なのです。

ところで、証明の方法として、こういうのはいかがですか？

仮に０分の１というものが（数学の世界に）存在するとする。
すると、０分の２、とか０分のマイナス５０とかも存在してもいいはすだ。

しかし、０分の１に、２分の２をかけると、
あれ？０分の２になる。

２分の２をかける、というのは１をかける、というのと同じはずなのに、いつの間にか２倍（？）になっている。

どっちが間違ってるんだ？

今度は０分の１に３分の２をかけてみる。
あれ？なんとやっぱり０分の２になる。

今度は、2分の２に０分の１をかけてみたら、
０分の２にもなれば０分の１にもなる。


なんだこれは。

これでは、あたまが変になる。

ということで、最初に仮に決めた０分の１となにかをかけるということに無理があるんだ、と思えてきます。

１と何かをかけるのは何の問題もないようなので、
じゃあおかしいのは、「０分の」のところなのだな。
ということに落ち着きます。

No.10 回答者： neue_reich 回答日時： 2003/03/28 11:25

数学の世界では「０」は特別な意味を持っています。

足し算、引き算のときは計算結果に影響が出ない（Ａ＋０＝Ａ、Ａ－０＝Ａ）
だけですが、掛け算の時には何をかけても０ですよね（Ａ＊０＝０）
（何をかけても０、というのは高校や大学で良く使うようになります）

ここで、「何をかけても０」というのに注目すると、おかしなことになります。
普通の数を因数分解すると、いくつかの数を掛け合わせたものになります。
しかし、０が入ってしまうと因数分解できません。
答えが何通りも出来てしまう（そもそも、０が因数⇒０で割る、のが出来ないからですが…）のです。
　・０が因数に入っている場合、その元々の数は０です。
　・いかなる数であっても０をかけると０になってしまいます。
つまり、いかなる数を並べても、その中に０が一つ入っていれば因数分解の
結果として正しいわけですよね。

他にもいろんな例がありますが、とにかく０は特殊であると言う事を頭に入れて置いてください。
その為に、計算方法の例外が作られています。
　・０で割ってはいけない（この質問の本題ですね）
　・０乗は全て１（２を３回かける事を２の３乗といいますが、０乗するとどの数でも
１になってしまいます）
　などなど…

ちなみに、塾の先生の回答の理由は「無限大と言う数はない」という数学的考え方
に基づいていると思います。
無限大とはいくつなの？　といわれて答えられる人はいません。
９９９９９９９９９９は普通の数字だけど、１００００００００００は無限大だよ、
などと区切れるものではありません。
実際の計算で無限大を扱うときに、「∞＋１⇒∞」として簡略化することがあります。
学校の先生の説明は、ちゃんと生徒に向き合った答えと言えますが、
これは極限の概念（下の回答で出している方がいますのでそちらを参照してください）
での説明です。
証明（のイメージ）は簡単で、１万円があるとして、これを１万人で分けると考えてください。
一人１円、となりますよね。
これが１０００人ならば１０円。１００人ならば１００円…
１人のときに１００００円で止めないで０．１人とか０．０１人としていくと
増えていく様子がイメージでつかめます。
（厳密な証明は最低でも高校レベルの数学知識が必要です）

No.9 回答者： ryutaro-imai 回答日時： 2003/03/28 01:41

自分の割り算の考え方は、例えば「リンゴを何等分するか」です。

１が本来のリンゴになるわけですが、物理的に１＞はありえないわけです。
結局のところ、物理的に１＞は掛け算になるはずなので、数学というのはあんまり確立された学問ではないですね。宗教みたいなものです。数学の式を考えたひとが教祖みたいなものです。その人のルールが絶対！！

No.8 回答者： uhyohyohyo 回答日時： 2003/03/27 23:35

答えはもう塾の先生が正しいと出ているし、考え方も極限を使ってでているので納得行くかと思います。

以前同じような質問が有ったのでその時に答えたのですが、数学とは理科と違って「公理」から出発する学問であり、それは数学という論理体系を定め、拡張していく上であらかじめ決められた約束事の事を言います。(理科はまず初めに現象ありきですよね。)そこに矛盾が存在してはいけません。#1の方が書いているように、0で割ることによって矛盾がそこに生じます。すなわち、数学では0で割るという操作は「してはいけない事」なのです。