高校の数学Aの教科書の場合の数に関する問題の答えが分かりません

高校の数学Aの教科書の場合の数に関する問題の答えが分かりません。
問題はポンチ絵を含むため添付ファイルに載せましたので
お手数ですがそちらをご覧下さい。

教科書ガイドにある正解と私の答えが合いません。
私は教科書ガイドの正解が違っているのではないかと思うのですが、そのようなことも考えづらいためきっと私の考え方が間違っていると思うのですが、どこが違うのかがどうしても分かりません。

どなたか私の間違いを指摘していただけないでしょうか？


教科書ガイドに載っている正解（一番奥の円から色を選んでいく）

・一番奥の円の色：全色の6通り
・真ん中のドーナツの色：円の色を除く5通り
・外側のドーナツの色：真ん中のドーナツの色を除く5色から選ぶ
　（１）2色を使う場合：5C2＝10通り
　（２）3色を使う場合：5C3×3＝30通り
　（３）4色を使う場合：5C4×3！＝30通り
　　　　　合計=10+30+30=70通り
　　答え＝6×5×70＝2100通り

私の答え（何色を使うかを場合に分け、さらに外側のドーナツから選んでいく）

・3色を使う場合＝6＋0＝6通り
　（１）外側ドーナツに2色使う場合：3C2×1×2＝6通り
　（２）外側ドーナツに3色使う場合：3C3×0×2＝0通り
・4色使う場合＝36＋36+0＝72通り
　（１）外側ドーナツに2色使う場合：4C2×2×3＝36通り
　（２）外側ドーナツに3色使う場合：（4C3×3）×1×3＝36通り
（３）外側ドーナツに4色使う場合：（4C4×3！）×0×3＝0通り
・5色使う場合＝120＋240＋120＝480通り
　（１）外側ドーナツに２色使う場合：5C2×3×4＝120通り
　（２）外側ドーナツに3色使う場合：（5C3×3）×2×4＝240通り
（３）外側ドーナツに4色使う場合：（5C4×3！）×1×4＝120通り
・6色使う場合＝300＋900＋900＝2100通り
　（１）外側ドーナツに2色使う場合：6C2×4×5＝300通り
　（２）外側ドーナツに3色使う場合：（6C3×3）×3×5＝900通り
（３）外側ドーナツに4色使う場合：（6C4×3！）×2×5＝900通り

答え＝6＋72＋480＋2100＝2658通り

質問の主旨からすると、6色のうちなら何色使っても良いと考えられますが、正解の2100通りだと6色全部を使った場合しか考えていないように思えるのですが・・・。
この質問の答えは何なのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/07/20 15:07

あなたの解き方は大きな間違いが二つあります。

1.色の数を限定する際、その色の選び方を無視している。
たとえば3色を使う場合、決められた3色で塗り分ける場合の数は正しいのですが、その3色にどの色を使うかの場合の数を考えていません。
A,B,C,D,E,Fの6色あるとするとあなたの数え方ではA,B,Cの3色のみを使用した場合しかカウントしていません。
実際は、A,B,DやD,E,F等の色の場合も考えないといけない。

3色の場合、3色の選びかた6C3をかける必要があります。
(この場合、当然のことながら答えが増えます。)

2.4色以上使う場合でそれ以下の色数しか使わない場合の数がカウントされてしまっている。
数を多くカウントしてしまっている原因がここにあります。
あなたの解き方の場合、"4色使う場合"とした場合、絶対に4色を使いきる必要があります。さもないと3色で塗り分けた場合の数を重複して数えてしまいます。

4色使う場合で説明します。
>（１）外側ドーナツに2色使う場合：4C2×2×3＝36通り
この場合、ここが間違っています。
外側のドーナツを2色で塗り分けた場合、うちから2番目の輪の部分は残りの2色から塗る必要がありますが、中央は外と2番目の輪で使用していない残り1色しか選択肢はありません。
もし、外側の輪と同じ色を使用すると使っている色の数は3色になってしまい、3色使う場合の数と重複でカウントしていることになります。

>（２）外側ドーナツに3色使う場合：（4C3×3）×1×3＝36通り
>（３）外側ドーナツに4色使う場合：（4C4×3！）×0×3＝0通り
この二つについては問題ありません。

この点に注意してもう一度といてみてください。

この回答へのお礼

ありがとうございました。！！！
2箇所のご指摘、全く目からウロコでした。！
ご指摘通り再度考えてみたところ正解と合致しました。

・3色を使う場合＝120＋0＝120通り
　（１）外側ドーナツに2色使う場合：6C3×3C2×1×2＝120通り
　（２）外側ドーナツに3色使う場合：6C3×3C3×0＝0通り
・4色使う場合＝180＋540+0＝720通り
　（１）外側ドーナツに2色使う場合：6C4×4C2×2×1＝180通り
　（２）外側ドーナツに3色使う場合：6C4×（4C3×3）×1×3＝540通り
（３）外側ドーナツに4色使う場合：6C4×（4C4×3！）×0＝0通り
・5色使う場合＝0＋360＋720＝1080通り
　（１）外側ドーナツに２色使う場合：6C5×5C2×0＝0通り
　（２）外側ドーナツに3色使う場合：6C5×（5C3×3）×2×1＝360通り
（３）外側ドーナツに4色使う場合：6C5×（5C4×3！）×1×4＝720通り
・6色使う場合＝0＋0＋180＝180通り
　（１）外側ドーナツに2色使う場合：6C6×6C2×0＝0通り
　（２）外側ドーナツに3色使う場合：6C6×（6C3×3）×0＝0通り
（３）外側ドーナツに4色使う場合：6C6×（6C4×3！）×2×1＝180通り

答え＝120＋720＋1080＋180＝2100通り

これでスッキリしました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2009/07/20 16:42