x^2-7x+14-7/x+1/x^2=0の解について

x+1/x=tとおくとx^2+1/x^2=t^2-2
元の式に代入して
t^2-7t+12=0 よってt=3,4

t=3のときx+1/x=3
両辺にxを掛けて整理するとx^2-3x+1=0
これを解いてx=3±√5/2

t=4のときx+1/x=4
以下略

ここで質問なのですが
t=3のときx+1/x=3
これを解くことで元の式の解が求まることに少し不安があります。

x+1/x=t、x^2+1/x^2=t^2-2とおいて元の式に代入することで
t^2-7t+12=0,t=3,4とでる。t^2-7t+12=0というのはx+1/x=t、x^2+1/x^2=t^2-2とおくことでできた元の式の変形。だからこの
tの解は元の式を満たすための条件？だからtを満たすにはx+1/x=tが
成り立つ必要があるから？
などと大それたことまでは言ってないとは思いますが
この自分なりの説明では気持ちが晴れません。

No.3 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/07/26 20:08

別に、相反方程式として解く必要もない。

分母を払うと、x^4-7x＾3+14x^2-7x+1＝（x＾2＋1）＾2-7x*（x＾2＋1）＋12x＾2＝（x＾2＋1-3x）*（x＾2＋1-4x）＝0.

これを解くだけだよ。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/07/26 19:38

>これを解くことで元の式の解が求まることに少し不安があります。

問題ないですね。

確認の意味で
x=3±√5/2を元の方程式の左辺に代入すると、両方ともちゃんとゼロになりますので、元の方程式の解であることが確認できました。

No.1 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/07/26 19:38

質問の意図が分かり難いが、単に置き換えただけの話。

x+1/x＝tとしと、分母を払うと、x＾2-tx＋1＝0.
xは実数から、判別式≧0　→　｜t｜≧2　この条件を忘れている。

もし、虚数まで認めるなら、判別式≧0　は不要。