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こんばんは。
いつもありがとうございます。
今日は、夏休みなので中学の数学をやっていたのですが、
わからない問題があります。

nを自然数とする時、n分の1410 が素数となる自然数n はいくつあるか

という問題です。

素数っていうのはたしか1とその数以外には割れる数がない数のことだったっけ・・って思ったのですが、
たとえば1とか3とか5とか7とか11とか13とか17とか19とか23とか29とか31とか37とか41とか43とか47とか51とか・・・そういう数字が素数なのかな~と思ったのですが、
もともと素数かどうかは一つずつ割れるかどうか・・・って考えていくものかどうかもよくわからないのですが(それとももっと簡単にわかるんでしょうか?)、

この問題はどうやればいいですか。
もしよかったら教えてください。
よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

 #1です。



 1410の素因数分解は#3さん、および#4さんが云われているように、

 1410=2×3×5×47

です。
 1410/nが素数となるとき、ですから、

 1410/n=2、3、5、47

となるときのnがいくつあるかを求めれば良いわけで、即ち素数の個数そのものとなります。
 ちなみに上記の場合、nの値はそれぞれ705、470、282、30です。

 あと、他の方も云われてますが、1は素数ではありません。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます!うれしいです!!
他の方からも教えていただいてわかってはきてたんですが、まとめて全部教えてくださったのでまたわかりやすくなりました。

それから素数のページもありがとうございます。
ちょうど前の方のところで「一意性」ってかいてあったのでなにかな・・と思ってまして説明が書いてありました。

もう一回教えてくださってありがとうございました。
とてもよくわかりました^-^♪

お礼日時:2009/08/08 22:46

1410は2*3*5*47と素因数分解できるので4つですね。



素数は
「1より大きい整数のうち,1と自分自身以外の整数では割り切れないような整数」をいいます。
なぜ1を素数に含めないのかは素因数分解の一意性のためです。
1410=1*2*3*5*47
1410=1*1*2*3*5*47
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この回答へのお礼

♪お返事ありがとうございます。
素因数分解できた数の分で4つってことだったんですね!!

教えてくださってありがとうございました♪

お礼日時:2009/08/08 22:38

最初に素数の定義ですが


「素数とは、1以外の数で1と自分自身しか約数がない整数のことをいう」
です。

1410を素因数分解すれば
1410=2*3*5*47
ですから
これをnで割って素数になる自然数nは
nで割ったとき、素因数が1つだけが残るものです。
2を残すには n=3*5*47 とすれば良い。
同様に3を残すには n=2*5*47 とすれば良い。
同様に5を残すには n=2*3*47 とすれば良い。
...
こうして考えれば、nは何通りできるかわかるでしょう。

この回答への補足

お返事ありがとうございます。
そしたら、あと書いてなかった組み合わせは
n=2*3*5 だけになりますか。

そしたら n は30と282と470と705で
n分の1410は、47と5と3と2ですか・・

あ~・・なんか合ってるっぽい答えですよね!
多分わかってきました。
ありがとうございました♪

補足日時:2009/08/08 22:06
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この回答へのお礼

こんばんは☆
そのあとの他の方の新しいお返事でも答えがそうなっていました。
さっき補足のところに書いてしまいましたが、書いているうちにお礼のとこに書くみたいな話になっていたのにそのまんまで出してしまい・・
すみませんでした。

よくわかったので、ありがとうございました☆

お礼日時:2009/08/08 22:35

"1"は素数ではありません。


1とその数以外に約数を持たないという条件ですから、二つは約数が無いといけません。

この問題を解くには、1410を素因数分解してみればよいでしょう。
1410の素数の約数の一つをxとすると
1410/xで1410を割るとxになりますので、題意を満たします。

要するに、1410の素数の約数一つに付き必ずそれに対応するnが存在するので、題意を満たすnの数は1410の素数の約数の数に等しくなります。
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。
最初はレベルが高くてわたしにはわからないかな~と思ったのですが

題意を満たすnの数は1410の素数の約数の数に等しくなります。

ということだったのでそれは、2と5と3と47をやった時点で、答えの個数はもうわかっているっていうことですよね!! きっと・・

う~んとそういうんだったらこれから忘れないうちに何回も同じ問題出て欲しい感じなんですけど・・わかりやすそうですよね☆

教えてくださってありがとうございました☆

お礼日時:2009/08/08 22:29

 「1410/n が素数となるときの自然数nの個数」と云うことですね。



 当然、1410/nも自然数ですから、nは1410を割り切ることが出来る値、ということになります。であれば、nは1410の約数ですね。
 設問は素数の数を訊いているので、1410を素因数分解すれば良いでしょう。
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。
素因数分解するってことは、1410を2でわって705になって5でわって141、3でわって47で・・

たとえば、2分の1410が705で素数ってことでしょうか・・
705だったらまた5でわれるし素数ってことではないですよね。
なんかばかですみません。。。
もし時間があったら教えていただけたらうれしいです。
もし無理だったら無理しないでください!!だいじょうぶです♪

教えてくださってありがとうございました☆

お礼日時:2009/08/08 22:00

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