ケーリー・ハミルトンの定理

数学Cの問題で、

2次の正方行列Aに対して、A^2-3A+2E=0が成り立つとき、a+d,ad-bcの値を求めよ。

系の問題があるじゃないですか。あれってなぜ与式のAとEの係数と比較するだけじゃだめなんですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/13 23:38

あまり行列の問題でもない様子です。

二つの多項式が(多項式として)等しいとき、
係数を比較して、式を決定することができますが、
それは、「多項式として等しい」ことの意味が
「各係数が等しい」ことで定義されているからです。
そこに、係数を比較する理由があります。

この問題の場合、
A^2-3A+2E=0 と
A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0 が、それぞれ成り立つけれど、
別に、x^2-3x+2 と x^2-(a+d)x+(ad-bc) が
多項式として等しいなどと誰も言っていません。
係数を比較する根拠が、何もない。
根拠のない計算をしても、正解は得られないでしょう。

これが行列の話でなくても、例えば、
ある実数 a が、a^2-3a+2=0 と a^2-ta+d=0 を満たしている。
t, d を求めよ　…と言われて、
係数を比較して t=3, d=2 とは、決められませんよね？
a=1, t=10, d=9 だって、a=2, t=20, d=16 だって、
条件を満たしている訳ですから。

妄想にもとづいて問題と関係ない計算をしてはいけない
…というダケの話なんです。

この回答へのお礼

ありがとうございます!!よく分かりました!!

お礼日時：2009/09/11 20:49

No.1 回答者： f272 回答日時： 2009/08/13 16:29

A=(a b; c d)のとき （ただし;は行の区切りのつもり）

(1) A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0
が成り立つけど、
(2) A^2-3A+2E=0
が成り立つとき、それから
(3) a+d=3かつad-bc=2
としてはいけないのはなぜか？
端的に言えば、(3)から(2)は成立するけど、その逆は成立するとは限らないから。

(1)と(2)から
A^2=(a+d)A-(ad-bc)E=3A-2E
となって
(a+d-3)A=(ad-bc-2)E
が分かるけど、ここで
a+d-3=0であれば(ad-bc-2)E=Oになってad-bc=2となります。これが1つの解。
でもa+d-3≠0の場合も考えなければなりません。このときはA=((ad-bc-2)/(a+d-3))Eになっていますから...以下省略

この回答へのお礼

下のような計算をするのはパターンでしか覚えていなかったので、なぜそういう計算をするのか知りませんでした。ありがとうございました。

お礼日時：2009/09/11 20:51