式の変形の質問です。
あるテキストに電磁場E、Bの中での荷電粒子の運動方程式はLorentz力を受けて m(dv/dt)=q(E+v×B)となります。ここで電磁場を電磁ポテンシャルAで表すと
E+v×B=-∇Φ-(∂A/∂t)+v×(∇×A) (1)
=-∇Φ-(dA/dt)+∇v・A (2)
ここで(dA/dt)=(∂A/∂t)+v・∇Aを使った。
となっていました。
さて、ここから質問なのですが(1)→(2)のベクトル演算の変形(v×(∇×A)=∇v・A-v・∇A)がどうしても出てこない。どなたかひとつよろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
問題になっている V×(∇×A)=∇V・A-V・∇A ですが,強調して書けば
V×(∇×A)=∇(V・A)-(V・∇)A・・・(*)
の意味であって,お書きの式も
dA/dt=∂A/∂t +(v・∇)A
のことですね.
すると,単位ベクトルe=(ex,ey,ez)として
∇×A=ex(∂yAz-∂zAy)+ey(∂zAx-∂xAz)+ez(∂xAy-∂yAx)
また,速度Vは(空間微分をするときに)定数として扱える・・・(**)
という前提より
[V×(∇×A)]x
=Vy(∇×A)z-Vz(∇×A)y
=Vy(∂xAy-∂yAx)-Vz(∂zAx-∂xAz)
=(Vy∂xAy+Vz∂xAz)-(Vy∂yAx+Vz∂zAx)
=(Vx∂xAx+Vy∂xAy+Vz∂xAz)-(Vx∂xAx+Vy∂yAx+Vz∂zAx)
=∂x(VxAx+VyAy+VzAz)-(Vx∂x+Vy∂y+Vz∂z)Ax (∵前提(**))
=∂x(V・A)-(V・∇)Ax
他の成分も同様で,結局(*)が示された.
なお,一般には
∇(A・B)=(A・∇)B+(B・∇)A+B×(∇×A)+A×(∇×B)
を使うようで,
∇(V・A)=(V・∇)A+(A・∇)V+A×(∇×V)+V×(∇×A)
=(V・∇)A+0+0+V×(∇×A) (∵前提(**))
から
V×(∇×A)=∇(V・A)-(V・∇)A
とでもするのでしょう.
No.1
- 回答日時:
ベクトルの公式で
3ベクトルA,B,Cについて
A×(B×C)=B(A・C)-C(A・B)・・・(1)
というものがありますが,この形のようですね.
ただし,∇は微分演算子だからか
A×(B×C)=B(A・C)-(A・B)C
と見た方がよさそうですが.
公式(1)の証明は両辺のx成分のみそれぞれ計算すれば
たとえば[A×(B×C)]_x=Ay(B×C)z-Az(B×C)y =・・・=Bx(A・C)-Cx(A・B)
などより(他も対称性より)示せて,ご質問の変形
v×(∇×A)=∇v・A-v・∇A
は同様にやるか,それとも信じるかではないでしょうか.
公式(1)の深遠な意味はご存知の方に解説をお願いいたします.
この回答への補足
早速のご解答ありがとうございました。ただ、ベクトル3重積公式ではご指摘の通り微分演算子∇の取り扱いが??のようです。いろいろ公式を調べるた結果 A×(∇×B)=A(∇・B)-(A・∇)B+(A×∇)×B というのがあって、求める形に近いのですが、地道にコツコツやっていてもでてこない(^^);;
補足日時:2003/04/13 09:05お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 サイクロイド運動について質問です。 極板の間隔をd、長さをl、極板Aの電位を0、極板Bの電位をV1と 1 2022/10/09 23:06
- 物理学 誘導起電力について 誘導起電力Vはファラデーの法則より、φを回路を貫く磁束として、 V=-(dφ)/ 1 2023/03/01 05:13
- 物理学 一辺がLの正方形のコイルです。 上の方の図でコイルに直流電源Eを接続したところ、コイルには電流iが流 2 2023/06/03 23:58
- 工学 電磁気学の質問です。 電流による電磁束密度ベクトルポテンシャルの計算ですが、ベクトルポテンシャルのポ 1 2022/04/19 17:23
- 物理学 単極誘導の説明の間違い 1 2022/08/21 17:01
- 物理学 示すように,真空中の直交座標系を考える。y平面に平行な つ領域Iと領域Iがあり,軸上の領域Iと領域I 1 2023/06/25 14:46
- 物理学 広がりを持つ導体板のローレンツ力と起電力 4 2022/09/13 19:22
- 物理学 荷電粒子の運動の様子と力のつりあいの式です。qの正負によって、粒子の速度Vがy軸対象に変化しますが、 1 2022/04/17 22:23
- 物理学 電子の運動 2 2023/01/31 22:51
- 物理学 相対論的運動方程式 1 2022/07/04 06:20
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
風向の平均処理
-
波数ベクトル
-
三相交流の仕組みが調べても理...
-
電荷と電束、磁荷と磁束について
-
重心と質量中心の違いについて
-
基本ベクトルと単位ベクトルの...
-
なぜ、エネルギーはスカラーで...
-
ベクトル解析と電磁気学 (r^-3 ...
-
「球面半径」と「曲率半径」の...
-
ブリュアンゾーンの物理的な意味
-
波数の意味と波数ベクトル
-
負と虚数
-
角速度のベクトルの方向は何故...
-
物理の、速度の問題です。
-
流体力学の問題です
-
「曲率」と「捩率」を質点の運...
-
ベクトルの太文字書きについて...
-
ベクトル関数の概略を図示せよ...
-
力のモーメントのつりあいで 鉛...
-
角度からベクトルって求めるこ...
おすすめ情報