微分方程式の教科書を読んでいると、
被積分関数
1/x(x^nで、n=-1のとき)
積分関数
logex+C
という、公式のようなものが出てきました。ちょっと表記がわかりにくいと思いますので、添付画像や、この公式らしきものを紹介しているリンク先
http://naop.jp/text/3/seki2.html
等もご覧いただきたいのですが、どうして1/xを積分すると、logex+Cが、出てくるのでしょうか?
似たような質問も以前、あったみたいです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2626092.html
でも私は、哲学的な意味ではなく、どのようにして1/xからlogex+Cを導き出せばよいのか、間の式の展開がどうなっているのかが知りたいです(>_<)
皆様のお力をお借しいただければ幸いです。
よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
>dx/dy=lim《h→0》x(e^[y+h])-x(e^y)/h
間違い。
dx/dy=lim《h→0》(e^[y+h])-(e^y)/h
=(e^y)lim《h→0》{(e^h)-1}/h = e^y
lim《h→0》{(e^h)-1}/h =1
の導出法は次のURLに載っていますので参照ください。
URLでのxは h と読み替えてください。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other …
そうですよね、微分の定義
http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/bourdoki/ban …
にしたがえば、xは余計でしたね・・・
log(e)=1
というのも、初めて知りました(^_^;)
ただ、自然対数eはまだまだ奥が深そう↓
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
なので、もう少し探ってみたいと思います。
info22さんのおかげで、(B)→(C)もなんとなく理解でき、スッキリすることができました。
本当にありがとうございます<m(__)m>
No.2
- 回答日時:
昔の人は、そういうことをコツコツ計算していた訳です。
しかし、そのためには、log とは何か、
exp の逆関数だとすれば、exp とは何か、
まず定義してから始めなければなりません。
これは、哲学ではなく、数学の基本的な事項です。
巾乗を拡張して指数関数を構成する際の
ゴタゴタは、教科書などによく書いてありますが、
ゆきつまろびつ、あまり見通しのよい議論では
ありません。
現代では、逆に、
∫[1~x] (1/t)dt のほうを log x の定義として、
ここから、log の諸性質 (exp の逆関数であるとか、
対数法則 log(xy)=log(x)+log(y) とか。)
を証明してゆくのが、通常です。
そのほうが、単純明快ですから。
はぁ、すいません内容が高度で、ちょっと私の頭ではついていけないようです・・・「exp」や「逆関数」など、よくわかりませんでして・・・(ToT)
でも、すぐに回答していただき、ありがとうございます(^_^;)
No.1
- 回答日時:
最初に
y=1/x
は x=0 では未定義ですが、
x<0 や x>0 の範囲で定義されています。
当然それぞれの範囲で積分が存在します。
また
積分の関数F(x)(原始関数という)を微分すれば被積分関数 f(x) になることも分かりますね。
∫f(x)dx=F(x)+C
f(x)=F'(x)
以上の予備知識のもとで
x=e^y (x>0) …(A)
を考える。
(A)をyについてとくと
y=log(x) …(B)
(A)をyで微分すると
dx/dy=e^y …(C)
(A)と(C)から
dx/dy=x
これから x≠0 なので
(1/x)dx=dy
両辺を積分すると
∫(1/x)dx=y+C …(D)
(B)を代入すると
∫(1/x)dx=log(x)+C
> どうして1/xを積分すると、log(x)+C が、出てくるのでしょうか?
導き方は分かりましたか?
ただ、この積分の公式は x>0 に適用できる公式であることに注意下さい。
x<0の場合は
-x=e^y (x<0) …(A)'
を考える。
(A)'をyについてとくと
y=log(-x) …(B)'
(A)'をyで微分すると
-dx/dy=e^y …(C)'
(A)'と(C)'から
-dx/dy=-x
これから x≠0 なので
(1/x)dx=dy
両辺を積分すると
∫(1/x)dx=y+C …(D)'
(B)'を代入すると
∫(1/x)dx=log(-x)+C (x<0)
となります。
返信が遅くなって本当に申し訳ございません(>_<)
丁寧に回答していただき、ありがとうございます!
しかし、(A)でいきなりつまずいてしまいました(泣)
ですが、似たような例↓
http://hobby_elec.piclist.com/logarithm.htm
を見つけ、「両辺に底がeの対数をとればいいのかな?」と思い、
x=e^y
log(e)x=log(e)e^y
log(e)x=ylog(e)e
log(e)x=y
と、なんとか(A)から(B)を導くことはできました。
ですが、(A)→微分→(C)に関して、ココ↓
http://q.hatena.ne.jp/1163966293
を参照して、xをyで微分しようと試みると、
dx/dy=lim《h→0》x(e^[y+h])-x(e^y)/h
という式が出てくると思うのですが・・・ここから、
dx/dy=e^y …(C)
を、info22さんはどうやって導いたのかがわかりません(ToT)
差し支えなければ、いつでもかまいませんので、(A)→(C)を導く、微分の展開に関して再度ご教授いただけないでしょうか?
理解力が乏しくてすいませんm(__)m
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