力学の問題が分かりません。

時間をかけて考えたんですが答えが出ません。

問題は以下のとおりです。


（１）質量ｍの物体が速度に比例した空気の粘性抵抗（単位質量あたりの比例定数の大きさをλとする）と

F=fcosωtであらわされる力を受けて運動している。

物体はO点を原点とするｘ軸上を運動するものとする。


ここで設問を解くと、

t秒後の物体の位置をｘ（ｔ）として運動方程式 md^2x(t)/dt^2=-mλdx(t)/dt +fcosωt が導かれます。

さらに、一つの特解として x(t)=-fcosωt/m(ω^2+λ^2) + fλsinωt/mω(ω^2+λ^2) が分かります。

ここまでは合ってると思います。次の問題が分からないので教えてください。


●力を加えて、十分に時間が経過したとき、物体は周期運動をする。

１周期の間に外から加えた力がする仕事を求めよ。

仕事は W=∫Fdx=∫Fｖｄｔ である。

↑（右側の積分の範囲は０～２π/ω）

また、必要ならRe(z)=(ｚ＋ｚ）/2を使う。

↑（「ｚ＋ｚ」の二つのｚのうち、一方はゼットバーで、ｚの上に「－」がつきます）

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/08/28 20:28

＞さらに、一つの特解として x(t)=-fcosωt/m(ω^2+λ^2) + fλsinωt/mω(ω^2+λ^2) が分かります。

斉次方程式の一般解は減衰振動の解になるので十分時間がたった後はこの特解だけになります。

＞仕事は W=∫Fdx=∫Fｖｄｔ である。

F = fcosωtなので、
これをそのまま代入してv=dx/dtをつかい

W = ∫[ fcosωt ] (dx/dt) dt

を計算するだけです。
x(t)が求められているので、dx/dtを計算してほうりこみます。

周期をTとしてω=2π/Tなので２π/ω=T。
つまり、この積分は外力の一周期にわたる積分です。

さらに摩擦力のする仕事も求めれば大きさが等しく符号が逆であることがわかるので、摩擦力によって失われたエネルギーとちょうど等しいエネルギーを外力が補っていることがわかります。

＞また、必要ならRe(z)=(ｚ＋ｚ）/2を使う。

すでに実数解にしてあるので不要です。