YAHOOの知恵袋にも投稿したのですが,
急ぎの質問なのでこちらでも聞かせていただきます。
シャボン玉の実験をしました。
シャボン玉の表面張力の関係で,
円柱状のシャボン膜の高さがある高さ以上になると,
球になった方が表面積が小さくなるということです。
実際に実験してもそのような結果が出ました。
しかし,本にも書いてあるんですが(リンク先の画像参照),
この本にマークした部分の数学的な証明方法が分かりません。
どうやったら,3.14(π)と証明できるんでしょうか?
数学的な証明を教えてください。
ちなみに出版社にも連絡してみたんですが,
これを執筆した先生に連絡が取れないと言うことです。
宜しくお願いします。
リンク↓
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
【補足】 マークした部分が見づらいので,ここに書きます。
***
数学的にも証明できます。ある長さになったとき,
筒の状態でいるよりも2つの球に分かれたほうが,
表面積が小さくなることが証明できればいいわけです。
紙面の都合でここでは省きますが,自分でやってみてください。
おもしろいことに円周率3.14という数字がでます。
上の実験結果ともよく一致します。
***
中学生のための 理科の自由研究 実例集 より
株式会社 誠文堂新光社
A 回答 (3件)
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No.2
- 回答日時:
実際の計算は面倒ですから割愛しますが、概ね次のようになると思います。
せっけん液の体積が変わらないという前提の下で考えれば、上下の円の半径をr、高さをhとして、円筒状の場合
外側:2πr
内側:2π(r-d)
なので表面積の面積は(側面積だけなので)
2π(2r-d)h
となります。ここでせっけん液の体積 V は変わらないので
V = πhr^2-πh(r-d)^2 = πh(2rd - d^2)
から、
d = r + √(r^2 - V/πh)
となることがわかりますから、
あとは二つの球の表面積を考えれば、大きさは同じなので
4π{2r^2 -2rd +d^2}
となり、せっけん液の体積は変わらないことから
V = 4/3 π{r^3 - (r-d)^3} = 4/3 π{3r^2 - 3rd + d^2}d
となりますから、dをVで表すことができるはずです。
あとは、円筒と球の表面積を比較すればよいでしょう。
もうちょっとエレガントな方法がありそうなのですが・・・。
この回答への補足
科学作品展の〆切直前,行き詰まっていた
私たちにようやく救いの手が……!!
なるほど,円筒の内側の面積と外側の面積,
両方合わせたものが表面積という考え方をするのですね。
思いつきもしませんでした(^^;
すぐにでも先生や同じ実験グループのメンバーに知らせて,
協力して計算してみようと思います。
貴重なご意見,本当にありがとうございました。
先日は私たちの質問に丁寧に答えてくださり,
ありがとうございました。
科学作品展の〆切直前,中学3年生の私たちには
最後の計算方法が全く思いつかず,
完全にお手上げ状態だったのですが,
回答者様のおかげで希望が見えてきたように思います。
研究グループ一同本当に感謝しています。
親切な回答,本当にありがとうございました!
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