A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
NO.3です。
数直線2本並べて以下のように論証することもできそうです。積和が最大値を得るときのxiのペアをyj(i,j=1,2…,n、i≠j)と仮定する。
xiとyjのペアを線で結ぶ。
少なくとも1つ、この線を跨ぐ線で結ばれるペアが存在が存在する。これらをxp,yq(p,q=1,2…,n、p≠i、q≠j)とする。
ペアを入れ替えると、xi・yj + xp・yq < xi・yq + xp・yj
となり、当初のペア時に積和が最大値を得ることに矛盾。
よって、i=jであることが必要。
<以下略>
No.3
- 回答日時:
大筋だけ。
。。まず、x1,x2…,xnを数直線上に並べる。
その真下に、y1,y2…,ynを数直線上に並べる。
x1の積のペアをyi(i≠1)、y1の積のペアをxj(j≠1)とした場合、
x1・yi + xj・y1 < x1・y1 + xj・yi(理由はNO.2様の回答ご参照。ペア同士を線で結んだとき、クロスしているものがあれば、ペアを入れ替えることにより積和は大きくなるということ。)
このことから、xとyの積和が最大値を得る為には、x1との積のペアはy1であることが必要であることがわかる。
同様の議論を繰り返していくことにより、
x2のペアはy2、x3のペアはy3…、xnのペアはynであることを要す。…1)
ここで、xとyの積のペアはn!通りと有限であるから、その中から最大値が存在することは明らか。…2)
1)2)の考察から、
Σ(xk・zk)の最大値は、Σ(xk・yk)に他ならない。
No.2
- 回答日時:
Z=Σ(k=1~n)xk・zk
ただし、x1>x2>・・・・>xn、zp<zq (p<q)
zpとzqを交換したzkをykとする。
つまり、yp=zq、yq=zp、yk=zk (k≠p,q)
Y=Σ(k=1~n)xk・yk
とすると、
Y-Z=Σ(k=1~n)xk(yk-zk)
=xp(yp-zp)+xq(yq-zq)
=xp(zq-zp)+xq(zp-zq)
=(xp-xq)(zq-zp)>0
これから言えることは、zp<zq (p<q)のとき、この2つを交換すると、Z=Σ(k=1~n)xk・zkは大きくなる。
zp<zq(p<q)となる2つ要素を交換していくと、最終的にはzkは降順にソートされることになる。
よって、Σ(k=1~n)xk・yk は y1>y2>・・・・>yn のとき、ykを任意に並べ替えたものの中で最大になる。
こんな証明ではだめでしょうか。
No.1
- 回答日時:
1987年の東大、理科前期大問5と同じ問題です。
一見問題は違いますが、両辺の2乗を展開し、Σyk^2=Σzk^2ですので同じ問題です。
数学的帰納法で示します。
(1)n=2のとき、
(ア)y_1=z_1,y_2=z_2のときは明らか。
(イ)y_1=z_2,y_2=z_1のとき
Σ(k=1~2)x_k・y_k-Σ(k=1~2)x_k・z_k=(x_1-x_2)(y_1-y_2)≧0
(2)n=iのとき成り立つと仮定する。
(a)y_(i+1)=z_(i+1)のとき
省略
よってn=i+1のときも成り立つ。
(b)z_m=y_(i+1) (m≠i+1)のとき
Σ(k=1~i+1)x_k・z_k = x_1z_1 + … + x_mz_m + … + x_iz_i + x_(i+1)z_(i+1)
=x_1z_1 + … + x_mz_(i+1) + … + x_iz_i + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m
(前半のx_1z_1+…+x_mz_(i+1)+…x_iz_iに現れるzはyの1~iに対応している)
≦Σ(k=1~i)x_k・y_k + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m
≦Σ(k=1~i)x_k・y_k + x_(i+1)y_(i+1) - x_(i+1)y_(i+1) + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m
≦Σ(k=1~i+1)x_k・y_k - x_(i+1)y_(i+1) + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m
≦Σ(k=1~i+1)x_k・y_k - x_(i+1)z_m + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_(i+1)
≦Σ(k=1~i+1)x_k・y_k + (x_m - x_(i+1))・(z_m - z_(i+1))
≦Σ(k=1~i+1)x_k・y_k
よってn=i+1のときも成り立つ
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