関数y=x^3+2のグラフに点(0、4)から引いた接戦の方程式を求めよという問題

題の通りです
よろしくお願いします

No.4 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/09/23 01:13

(1)まず、点(0,4)が関数 y=x^3+2上にはないことを確認します。

もし関数上の点であれば、接線の方程式を用いることですぐに求まります。

(2-1)一つの方法は、接点となる y=x^3+2上の点の x座標を tとでも置きます。
この点における接線の方程式が点(0,4)を通ることから、tを求めます。

(2-2)逆に、点(0,4)を通る直線の式を y-4=m*(x-0) ⇒ y=m*x+4として表します。
この直線が関数 y=x^3+2に接するということは、「重解をもつ」ということです。
ただし、3次方程式なので相当面倒なことになると思います。


「接線の方程式」は、次の2つの組合せとして覚えておくと応用も利くようになります。
【１】点(a,b)を通る傾き mの直線の方程式は、
y-b = m*(x-a)
と表すことができる。
上の(2-2)では、この考え方を使って考えています。

【２】接線の方程式を考えるときには、
・点(a,b)が、曲線上の点(t,f(t))であり、
・傾きは、微分係数 f'(t)である。
これを上記の直線の式に入れているだけ。

No.3 回答者： UROIUSH 回答日時： 2009/09/22 21:36

高校２年までの知識で解けるやり方を紹介します。

ポイントは、求める接線が、点(0,4)と曲線上の点の両方を通るという関係を押さえることです。
解き方↓
接線の方程式を
y=ax+b　・・・（１）
とします。
まず、曲線の方程式
y=x^3+2　・・・（２）
をxで１階微分します。
y=3x^2　・・・（３）
となります。
これが接線の傾き（これで(１)式の"a"が求まるわけではありません）になります。

次に、接線と(2)式で表す曲線上の点との交点の座標を
x=xc
y=yc
とします。
以後、この点を点Ｃと呼びます。
すると、aは（３）式より
a=3xc^2
となります。
次に、接線は(0,4)を通るので（１）式より
4=3xc^2 * 0 + b
b=4
となります。
したがって、現時点での接線の方程式は
y=3xc^2 * x + ４　・・・（１）’
となります。
一方で、式(2)に点Ｃの座標を代入して
yc=xc^3+2 ・・・(4)
さらに、式(1)'に点Ｃの座標を代入して
yc=3xc^2 * xc + 4 ・・・(d)

点Ｃで曲線と接線は交わるので、(4),(d)より
xc^3+2　= 3xc^2 * xc + 4
この式を解くと
xc=-1
となります。
あとはa=3xc^2にx=xc=-1を代入して
a=3

よって,求める接線の方程式は
y=3x+4
となります。

以上です。ちなみにこれ以外に、強引なやり方として、点(0,4)を基点に、
接線の傾きを+-の両方向に徐々に増やして行き、曲線と接線の最短距離が最小になる傾きを正解とするやり方もあります。
（プログラマーが使うような数値解法です）

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/09/22 21:04

>関数y=x^3+2のグラフに点(0、4)から引いた接戦の方程式 ....

まず、関数y=x^3+2 の x=t における「接線」の傾斜。
　y' = 3*t^2

その「接線」が (t, t^3+2) と (0, 4) を通る。
　3*t^2 = (4 - t^3 + 2)/(-t)
　-3*t^3 = 2 - t^3
　∴ t = -1

「接線」は (-1, 1) と (0, 4) を通るようです。
　　

No.1 回答者： k_jinen 回答日時： 2009/09/22 20:45

１．方眼紙を用意してください。

２．y=x^3+2のグラフを、なるべく正確に描いてください。
３．点(0,4)から上記グラフへの接線を引いてください。
※手書きなので、真の接線にならずとも、接（近）戦になるかもしれませんが、構いません。
４．上記接点とおぼしき点がどのような値を取るかを読み取ってください。
５．接点(x0,y0)と点(0,4)とを結ぶ直線の方程式がどうなるかを考えてください。
６．接点(x0,y0)がy=x^3+2上の点になることも、同時に考えてください。
。。。
そうすれば、自ずと答えが見えてくるかも知れません。。。