自然数を実在でなく関係だと見る観点はない？

http://russell.cool.ne.jp/YOSIDA4.HTMでは、自然数が実在だと
されていますが、これは日本の数学の常識なのでしょうか？

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/09/24 21:23

もうちょっと単純な話として、

有限集合を「全単射が存在すること」という同値関係で類別すると
各同値類がひとつの自然数を表す　…というのは、
「関係だと見る観点」と言えない？

同値類が存在しとるやろ！と言われれば、それまでだけど。

No.3 回答者： ur2c 回答日時： 2009/09/24 21:09

圏論的な自然数の特徴付けについて。

Daniele Turi の Category Theory Lecture Notes の最初の所に説明があり、もともと Lawvere が 1960 年代に示した観点だそうです。これを読んで、存在論的か関係論的か、ご自分で判断なされば。

（私には関係論に見えます。）

参考URL：http://www.dcs.ed.ac.uk/home/dt/CT/

No.2 回答者： taparon 回答日時： 2009/09/24 00:32

カテゴリー論（圏論）という数学分野では、数学的構造の「対象」とそれらの間の「射」という、ある意味関係性によって数学的実体を扱います。

その中に自然数対象という概念もあって、それも全体と対象との関係性を重視した定義になっています。
とはいえ、それも基礎付けるためには集合論を使ったりして、やはり実体として扱う考えが基になっていると思います。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/09/23 14:58

リンク先は長いので読んでませんが

タイトルから内容の推理はできますので
その主観的な想像のもとで書きます．

＃日本の数学の常識とか，前にも常識・常識言ってる
＃質問がありましたねえ・・同じ人かな
＃こういう「常識論」自体がある意味無意味なんだけどなあ・・

さて・・・「自然数は実在」「自然数は関係」てのは
ぜんぜん矛盾するわけではなく，
「関係が実在」すればいいだけでしょう．
で，実際自然数ってのはいくつか定義があるけども
ペアノ公理系なんかだと
サクセサ（後続関数）で定義できるんだから
ある意味で関係でしょう
＃「関係」てのは立派な数学用語できちんとした定義があるわけで
＃「関係」の特殊なものが「関数」とか「写像」なんだけども
＃ここでは厳密な意味で「関係」「関数」「写像」とかは
＃つかってない．そもそも「サクセサ」自体，
＃厳密な意味では関数じゃあない・・・と思う
これはより集合論的な自然数の考え方です．

もっと関数っぽく自然数を考えるんだったら
「ラムダ計算」をひっぱりだして，
チャーチ数で定義するという手法があります．
関数を入力して関数を返す関数を考えて
＃こういうのの例は例えは平行移動だとかいろいろ
その中の特殊なものを自然数とみなすというものがチャーチ数．
このチャーチ数を自然数とみなす立場．

関数0というのを，どんな関数fを与えたときに恒等関数を与える関数
つまり，0(f)(x)=xということ
関数1というのを 1(f)(x)=f(x)
関数2を 2(f)(x) = f(f(x))
なんていう風に定義する
＃ここで0とか1とか2は単なる記号で自然数を意味するのではない
一般には
n(f)(x) = f((n-1)(f)(s))
なんて定義するのかな．いわゆる帰納的定義．
＃ラムダ計算の一般的な書式で書いてもいいけど
＃きっとみづらいし分かりにくいだろうから
＃あえてこういう書き方にします．
こうやって定めた関数列{0,1,2,3,...}が自然数になるのです
（こうやって定めたそれぞれの0,1,2,..をチャーチ数という）．